Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，與y軸相交于（0，$\frac{9}{4}$），點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，2），點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式．
（2）點(diǎn)F為線段AC上一動點(diǎn)，過F作FE⊥x軸，F(xiàn)G⊥y軸，垂足分別為E、G，當(dāng)四邊形OEFG為正方形時(shí)，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)平移的距離為t，正方形的邊EF與AC交于點(diǎn)M，DG所在的直線與AC交于點(diǎn)N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）易得拋物線的頂點(diǎn)為（0，$\frac{9}{4}$），然后只需運(yùn)用待定系數(shù)法，就可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；
（2）①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，如圖1，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，直線AC的解析式，設(shè)正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p），代入直線AC的解析式，就可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，同理可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上，故舍去；
（3）過點(diǎn)M作MH⊥DN于H，如圖2，由題可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM²、MN²，分三種情況（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）討論就可解決問題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，
∴拋物線的對稱軸為y軸，
∴拋物線的頂點(diǎn)為（0，$\frac{9}{4}$），
故拋物線的解析式可設(shè)為y=ax²+$\frac{9}{4}$．
∵A（-1，2）在拋物線y=ax²+$\frac{9}{4}$上，
∴a+$\frac{9}{4}$=2，
解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$；

（2）①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，如圖1，
令y=0得，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$=0，
解得：x₁=3，x₂=-3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=2}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
設(shè)正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p）．
∵點(diǎn)F（p，p）在直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$上，
∴-$\frac{1}{2}$p+$\frac{3}{2}$=p，
解得p=1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）．
②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，
同理可得：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，3），
此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上，故舍去．
綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）；

（3）過點(diǎn)M作MH⊥DN于H，如圖2，
則OD=t，OE=t+1．
∵點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動，∴0≤t≤2．
當(dāng)x=t時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$，則N（t，-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$），DN=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$．
當(dāng)x=t+1時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$（t+1）+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$t+1，則M（t+1，-$\frac{1}{2}$t+1），ME=-$\frac{1}{2}$t+1．
在Rt△DEM中，DM²=1²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=$\frac{1}{4}$t²-t+2．
在Rt△NHM中，MH=1，NH=（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）-（-$\frac{1}{2}$t+1）=$\frac{1}{2}$，
∴MN²=1²+（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$．
①當(dāng)DN=DM時(shí)，
（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）²=$\frac{1}{4}$t²-t+2，
解得t=$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)ND=NM時(shí)，
-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得t=3-$\sqrt{5}$；
③當(dāng)MN=MD時(shí)，
$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{4}$t²-t+2，
解得t₁=1，t₂=3．
∵0≤t≤2，∴t=1．
綜上所述：當(dāng)△DMN是等腰三角形時(shí)，t的值為$\frac{1}{2}$，3-$\sqrt{5}$或1．

點(diǎn)評 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、直線及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線的性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理等知識，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（2）、（3）小題的關(guān)鍵，在解決問題的過程中要驗(yàn)證是否符合題意．