【題目】如圖,已知直角△ABC中,∠ABC=90°,BC為圓O的直徑,D為圓O與斜邊AC的交點,DE為圓O的切線,DE交AB于F,且CE⊥DE.
(1)求證:CA平分∠ECB;
(2)若DE=3,CE=4,求AB的長;
(3)記△BCD的面積為S1,△CDE的面積為S2,若S1:S2=3:2.求sin∠AFD的值.
【答案】(1)詳見解析;(2) ;(3).
【解析】
(1),連接OD,由DE是⊙O的切線可知OD⊥DE,由CE⊥DE,可知OD∥CE,進而可知∠ECD=∠CDO,因為∠CDO=∠DCO,所以∠ECD=∠DCO,即可證明.(2)連接BD,根據(jù)勾股定理可求出CD=5,所以tan∠ECD= = ,在根據(jù)各直角三角形中各邊的函數(shù)關(guān)系即可求出AB的長.(3)過點D作DG⊥BC于G,由CA∠BCE,可知DG=DE,進而△CDG≌△CDE根據(jù)S1:S2=3:2得 ,得 ,所以BC=3BG,OD=OC= BC=BG,根據(jù)勾股定理可求出DG得長,進而可求出sin∠DOG的值,根據(jù)四邊形內(nèi)角和可知∠AFD=∠DOG,即可求出sin∠AFD的值.
(1)如圖,連接OD,
∵DE是⊙O的切線,
∴OD⊥DE,
∵CE⊥DE,
∴OD∥CE,
∴∠ECD=∠CDO,
∵∠CDO=∠DCO,
∴∠ECD=∠DCO,
∴CA平分∠ECB;
(2)如圖,連接BD,∵BD為直徑,
∴∠BDC=90°,
在Rt△CED中,DE=3,CE=4,根據(jù)勾股定理得,DC=5,
∴tan∠ECD==,
∴BD=DCtan∠DCB=,
∵∠BCD+∠CBD=90°,∠ABD+∠CBD=90°,
∴∠BCD=∠ABD,
在Rt△CDE中,cos∠DCE==,
∴cos∠BCD=,
∴cos∠ABD=,
在Rt△ABD中,cos∠ABD==,
∴AB=×=;
(3)如圖,
過點D作DG⊥BC于G,
∵CA平分∠BCE,
∴DG=DE,
易知,△CDG≌△CDE,
∴S2=S△CDG=S△CDE,
∵S1:S2=3:2,
∴,
∴,
∴,
設(shè)BG=x,則CG=2x,
∴BC=BG+CG=3x,
∴OD=OC=BC=x,
∴OG=CG﹣OC=2x﹣x=x,
在Rt△ODG中,根據(jù)勾股定理得,DG=x,sin∠DOG== = ,
在四邊形OBFD中,根據(jù)四邊形內(nèi)角和得,∠BFD+∠DOG=180°,
∵∠AFD+∠BFD=180°,
∴∠AFD=∠DOG,
∴sin∠AFD= .
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【題目】兩個一次函數(shù)l1、l2的圖象如圖:
(1)分別求出l1、l2兩條直線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求出兩直線與y軸圍成的△ABP的面積;
(3)觀察圖象:請直接寫出當x滿足什么條件時,l1的圖象在l2的下方.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點D是BC邊的中點,BD=2,tanB=.
(1)求AD和AB的長;
(2)求sin∠BAD的值.
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【題目】如圖,已知A是函數(shù)y=﹣ (x<0)圖象上一點,B是函數(shù)y= (x>0)圖象上一點,若OA⊥OB且AB=2,則點A的橫坐標為______.
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,點D、E分別在AB、AC上,且BD=CE.
(1)找出圖中所有的全等的三角形.
(2)選一組全等三角形進行證明.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(0<2a<b)的頂點為P(x0,y0),點A(1,yA),B(0,yB),C(﹣1,yC)在該拋物線上,當y0≥0恒成立時,的最小值為( 。
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
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【題目】如圖,△ACB和△ECD都是等邊三角形,點A、D、E在同一直線上,連接BE.
(1)求證:AD=BE;
(2)求∠AEB的度數(shù).
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【題目】在平面直角坐標系中,有一條線段AB,已知點A(﹣3,0)和B(0,4),平移線段AB得到線段A1B1.若點A的對應(yīng)點A1的坐標為(0,﹣1),則線段AB平移經(jīng)過的區(qū)域(四邊形ABB1A1)的面積為( 。
A. 12 B. 15 C. 24 D. 30
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1.請同學(xué)們利用網(wǎng)格線進行畫圖:
(1)在圖1中,畫一個頂點為格點、面積為5的正方形;
(2)在圖2中,已知線段AB、CD,畫線段EF,使它與AB、CD組成軸對稱圖形;(要求畫出所有符合題意的線段)
(3)在圖3中,找一格點D,滿足:①到CB、CA的距離相等;②到點A、C的距離相等.
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