Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD邊上一動點（不與D點重合），點D與點E關于AM所在的直線對稱，連接AE，ME，延長CB到點F，使得BF＝DM，連接EF，AF．

（1）依題意補全圖1；

（2）若DM＝1，求線段EF的長；

（3）當點M在CD邊上運動時，能使△AEF為等腰三角形，直接寫出此時tan∠DAM的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）1或．

【解析】

（1）根據(jù)題意作出圖形便可，

（2）連接BM，先證明△ADM≌△ABF，再證明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF；

（3）設DM＝x（x＞0），求出AE、AF、EF，當△AEF為等腰三角形，分兩種情況：AE＝EF或AF＝EF，列出方程求出x的值，進而求得最后結果．

解：（1）根據(jù)題意作圖如下：

（2）連接BM，如圖2，

∵點D與點E關于AM所在直線對稱，

∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°，

∵BM＝BF，

∴△ADM≌△ABF（SAS），

∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，

∴∠FAB＝∠NAE，

∴∠FAE＝∠MAB，

∴△FAE≌△MAB（SAS），

∴EF＝BM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝CD＝AB＝3，

∵DM＝1，

∴CM＝2，

∴BM＝，

∴EF＝；

（3）設DM＝x（x＞0），則CM＝3﹣x，

∴EF＝BM＝，

∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝，

∴AF＞AE，

∴當△AEF為等腰三角形時，只能有兩種情況：AE＝EF，或AF＝EF，

①當AE＝EF時，有＝3，解得x＝3

∴tan∠DAM＝；

②當AF＝EF時，＝，解得，x＝，

∴tan∠DAM＝，

綜上，tan∠DAM的值為1或．

故答案為：tan∠DAM的值為1或．