Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2﹣ax+a﹣1與x軸交于A，B兩點（點B在正半軸上），與y軸交于點C，OA＝3OB．點P在CA的延長線上，點Q在第二象限拋物線上，S△PBQ＝S△ABQ．

（1）求拋物線的解析式．

（2）求直線BQ的解析式．

（3）若∠PAQ＝∠APB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋2x﹣3；（2）y＝﹣x＋1；（3）點P（﹣4，1）．

【解析】

（1）令y＝x2﹣ax＋a﹣1＝0，解得：x＝a﹣1或1，故點A、B的坐標分別為：（a﹣1，0）、（1，0），即可求解；

（2）S△PBQ＝S△ABQ，則△PBQ和△ABQ底邊BQ邊上的高相等，故直線PC∥BQ，即可求解；

（3）證明△PBQ≌△AQB（SAS），則∠PQB＝∠ABQ＝45°，則PQ∥y軸，即可求解．

解：（1）令y＝x2﹣ax＋a﹣1＝0，解得：x＝a﹣1或1，

故點A、B的坐標分別為：（a﹣1，0）、（1，0），

∵OA＝3OB，故1﹣a＝3，解得：a＝﹣2，

故拋物線的表達式為：y＝x2＋2x﹣3；

（2）對于y＝x2＋2x﹣3，令x＝0，則y＝﹣3，故點C（0，﹣3），

∵S△PBQ＝S△ABQ，

∴△PBQ和△ABQ底邊BQ邊上的高相等，

故直線PC∥BQ，

設(shè)直線AC的表達式為：y＝kx＋b，則，解得：，

故直線AC的表達式為：y＝﹣x﹣3，

則設(shè)直線BQ的表達式為：y＝﹣x＋b，

將點B的坐標代入上式并解得：b＝1，

故直線BQ的表達式為：y＝﹣x＋1；

（3）設(shè)直線PB交AQ于點D，

由直線BQ的表達式知∠ABQ＝45°，

由（2）知PC∥BQ，

∴∠QAP＝∠AQB，∠BPA＝∠QBP，

而∠PAQ＝∠APB，

∴∠AQB＝∠PBQ，

∴DB＝DQ，

∵∠PAQ＝∠APB，

∴DP＝DA，

∴PA＝AQ，

而BQ＝BQ，

∴△PBQ≌△AQB（SAS），

∴∠PQB＝∠ABQ＝45°，

∴PQ∥y軸，

聯(lián)立直線PQ和拋物線的表達式，得，解得或，

即x＝1或﹣4（舍去1），

故點Q的橫坐標為﹣4，即為點P的橫坐標，

而點P在直線AC：y＝﹣x﹣3，

故點P（﹣4，1）．