Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
（1）作AB的垂直平分線DE，交AB于點D；交AC于的E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；
（2）連接BE，若BC=1，求△BCE的周長．

Answer 1

分析：（1）分別以A、B兩點為圓心，以大于

1

2

AB長度為半徑畫弧，在AB兩邊分別相交于兩點，然后過這兩點作直線即為AB的垂直平分線；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得BE=AE，然后求出△BCE的周長=AC+BC，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB，再利用勾股定理列式求出AC的長，即可得解．

解答：解：（1）AB的垂直平分線DE如圖所示；

（2）∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴BE=AE，
∴△BCE的周長=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∵∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°，
∴AB=2BC=2×1=2，
根據(jù)勾股定理，AC=

AB2-BC2

=

22-12

=

3

，
∴△BCE的周長=

3

+1．

點評：本題考查了復(fù)雜作圖，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．