【題目】如圖,已知BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A,D在⊙O上,∠B=2∠CAD,在BC的延長線上有一點(diǎn)P,使得∠P=∠ACB,弦AD交直徑BC于點(diǎn)E.
(1)求證:DP與⊙O相切;
(2)判斷△DCE的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)若CE=2,DE=,求線段BC的長度.
【答案】(1)證明見解析;(2)△DCE是等腰三角形,證明見解析;(3)10.
【解析】
(1)連接OD,根據(jù)圓周角定理得到∠DOP=2∠DAC,等量代換得到∠COD=∠B,根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=90°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,于是得到OC==5,即可得到結(jié)論.
(1)連接OD,
∴∠DOP=2∠DAC,
∵∠B=2∠CAD,
∴∠COD=∠B,
∵∠P=∠ACB,
∴∠ODP=∠BAC,
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∴∠ODP=90°,
∴DP與⊙O相切;
(2)△DCE是等腰三角形,
理由:∵∠B=∠COD,∠BOD=180°﹣∠COD,∠BAD+∠AEB=180°﹣∠B,
∴∠BOD=∠BAD+∠AEB,
∵∠BAD=∠BOD,
∴∠AEB=∠BOD,
∴∠BAD=∠AEB,
∵∠DCE=∠BAE,∠CED=∠AEB,
∴∠CED=∠DCE,
∴△DCE是等腰三角形;
(3)∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∵DE=DC,
∴∠OCD=∠CED,
∴∠DEC=∠DCE=∠OCD=∠ODC,
∴△DCE∽△OCD,
∴,
∵CE=2,DE=,
∴CD=DE=,
∴OC==5,
∴BC=2OC=10.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是梯形ABCD的內(nèi)切圓,AB∥DC,E、M、F、N分別是邊AB、BC、CD、DA上的切點(diǎn).
(1)求證:AB+CD=AD+BC
(2)求∠AOD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:①a,b同號(hào);②當(dāng)x=1和x=3時(shí),函數(shù)值相等;③4a+b=0;④當(dāng)﹣1<x<5時(shí),y<0.其中正確的有( )
A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),決定開放以下球類活動(dòng)項(xiàng)目:A.籃球、B.乒乓球、C.排球、D.足球.為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動(dòng)項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖①,圖②),請回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少人?
(2)請你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校共有學(xué)生1900人,請你估計(jì)該校喜歡D項(xiàng)目的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,下列結(jié)論中,正確結(jié)論的有( )個(gè).
①b2﹣4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一塊長為21m、寬為10m的矩形空地,計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道,且人行通道的寬度不能超過3米.
(1)如果兩塊綠地的面積之和為90m2,求人行通道的寬度;
(2)能否改變?nèi)诵型ǖ赖膶挾,使得每塊綠地的寬與長之比等于3:5,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為積極響應(yīng)市委政府“加快建設(shè)天藍(lán)水碧地綠的美麗長沙”的號(hào)召,我市某街道決定從備選的五種樹中選購一種進(jìn)行栽種.為了更好地了解社情民意,工作人員在街道轄區(qū)范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了部分居民,進(jìn)行“我最喜歡的一種樹”的調(diào)查活動(dòng)(每人限選其中一種樹),并將調(diào)查結(jié)果整理后,繪制成如圖兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
請根據(jù)所給信息解答以下問題:
(1)這次參與調(diào)查的居民人數(shù)為: ;
(2)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)請計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“楓樹”所在扇形的圓心角度數(shù);
(4)已知該街道轄區(qū)內(nèi)現(xiàn)有居民8萬人,請你估計(jì)這8萬人中最喜歡玉蘭樹的有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正△ABC的頂點(diǎn)B(﹣3,0)、C(﹣1,0),過坐標(biāo)原點(diǎn)O的一條直線分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N.若OM=2ON,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為_____.
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【題目】某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果,如果每千克盈利元,每天可售出千克.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),出售價(jià)格每降低元,日銷售量將增加千克.那么每千克應(yīng)降價(jià)多少元,銷售該水果每天可獲得最大利潤?最大利潤是多少元?
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