Question

如圖1，已知矩形ABED，點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB=2AD．

（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）保持圖1中△ABC固定不變，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)），試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并給予證明；

（3）保持圖2中△ABC固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）．試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并給予證明．

 

Answer 1

（1）△ABC是等腰直角三角形．理由見解析；（2）DE=AD+BE．證明見解析；（3）DE=BE-AD．證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理，即可判斷△ABC的形狀；

（2）（3）通過證明△ACD≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可得線段AD、BE、DE長度之間的關(guān)系．

試題解析：（1）△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

在△ADC與△BEC中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC，

∴△ADC≌△BEC（SAS），

∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．

∵AB=2AD=DE，DC=CE，

∴AD=DC，

∴∠DCA=45°，

∴∠ECB=45°，

∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°．

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）DE=AD+BE．理由如下：

在△ACD與△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，DC=EB．

∴DC+CE=BE+AD，

即DE=AD+BE．

（3）DE=BE-AD．理由如下：

在△ACD與△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，DC=EB．

∴DC-CE=BE-AD，

即DE=BE-AD．

考點(diǎn)：1等腰三角形的判定；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.矩形的性質(zhì)．