【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和⊙M,給出如下定義:若⊙M上存在兩個點A,B,使AB=2PM,則稱點P為⊙M的“美好點”.
(1)當(dāng)⊙M半徑為2,點M和點O重合時.
①點P1(﹣2,0),P2(1,1),P3(2,2)中,⊙O的“美好點”是 ;
②若直線y=2x+b上存在點P為⊙O的“美好點”,求b的取值范圍;
(2)點M為直線y=4上一動點,以2為半徑作⊙M,點P為直線y=x上一動點,點P為⊙M的“美好點”,求點M的橫坐標(biāo)m的取值范圍.
【答案】(1)①P1和P2;②;(2)滿足條件的m的取值范圍為2≤m≤6.
【解析】
(1)①根據(jù)⊙M的“美好點”即可判斷.
②求出直線y=2x+b與⊙M相切時,b的值即可解決問題;
(2)當(dāng)直線y=4與⊙M相切時,求出點M的坐標(biāo),有兩個值,由此即可解決問題.
解:(1)①如圖1中,
∵OP1=2=r,OP2=<r,OP3=2<r,
根據(jù)⊙M的“美好點”的定義可知,P1,P2是⊙M的“美好點”.
故答案為:P1和P2.
②當(dāng)直線y=2x+b與⊙O相切時,設(shè)切點為T,該直線交x軸于K,交y軸于E.
由題意E(0,b),K(-,0),
∴OE=b,OK=,EK=b.
∵sin∠TKO=,
∴,
∴b=2,
根據(jù)對稱性可知:當(dāng)直線與⊙O在下方相切時,OF=OE=2,
∴b=-2,
∴b的取值范圍為:-2≤b≤2.
(2)如圖2中,
當(dāng)直線y=4與⊙M相切時,切點分別為E或E',連接ME,M'E'.
∵EM=E'M'=2,
∴M'(2,2),m(6,6),
∴滿足條件的m的取值范圍為2≤m≤6.
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【題目】在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax+b與y=ax2﹣bx的圖象可能是( )
A. B. C. D.
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【題目】身高1.65米的兵兵在建筑物前放風(fēng)箏,風(fēng)箏不小心掛在了樹上.在如圖所示的平面圖形中,矩形CDEF代表建筑物,兵兵位于建筑物前點B處,風(fēng)箏掛在建筑物上方的樹枝點G處(點G在FE的延長線上).經(jīng)測量,兵兵與建筑物的距離BC=5米,建筑物底部寬FC=7米,風(fēng)箏所在點G與建筑物頂點D及風(fēng)箏線在手中的點A在同一條直線上,點A距地面的高度AB=1.4米,風(fēng)箏線與水平線夾角為37°.
(1)求風(fēng)箏距地面的高度GF;
(2)在建筑物后面有長5米的梯子MN,梯腳M在距墻3米處固定擺放,通過計算說明:若兵兵充分利用梯子和一根米長的竹竿能否觸到掛在樹上的風(fēng)箏?
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【題目】尼泊爾發(fā)生了里氏8.1級地震,某中學(xué)組織了獻愛心捐款活動,該校教學(xué)興趣小組對本校學(xué)生獻愛心捐款額做了一次隨機抽樣調(diào)查,并繪制了不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.如圖所示:
(1)a等于多少?b等于多少?
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;若制成扇形統(tǒng)計圖,求捐款額在之間的扇形圓心角的度數(shù);
(3)該校共有1600名學(xué)生,估計這次活動中愛心捐款額不低于20元的學(xué)生有多少人?
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,AB⊥x軸,垂足為A.反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過點C,交AB于點D.已知AB=4,BC=.
(1)若OA=4,求k的值;
(2)連接OC,若BD=BC,求OC的長.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于C,D兩點,與x,y軸交于B,A兩點,且tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
(1)求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OCD的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時,自變量x的取值范圍.
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【題目】某中學(xué)的一個數(shù)學(xué)興趣小組在本校學(xué)生中開展了主題為“霧霾知多少”的專題調(diào)查括動,采取隨機抽樣的方式進行問卷調(diào)查,問卷調(diào)查的結(jié)果分為“A.非常了解”、“B.比較了解”、“C.基本了解”、“D.不太了解”四個等級,將所得數(shù)據(jù)進行整理后,繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請你結(jié)合圖表中的信息解答下列問題
等級 | A | B | C | D |
頻數(shù) | 40 | 120 | 36 | n |
頻率 | 0.2 | m | 0.18 | 0.02 |
(1)表中m= ,n= ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,A部分所對應(yīng)的扇形的圓心角是 °,所抽取學(xué)生對丁霧霾了解程度的眾數(shù)是 ;
(3)若該校共有學(xué)生1500人,請根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計這些學(xué)生中“比較了解”人數(shù)約為多少?
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【題目】在探究銳角三角函數(shù)的意義的學(xué)習(xí)過程中,小亮發(fā)現(xiàn):“如圖1,在中,,可探究得到”
(1)請你利用圖1探究說明小亮的說法是否正確;
(2)小麗猜想“如果在鈍角三角形中,兩個銳角正弦值與它們所對邊的邊長之間也有一定的關(guān)系“在圖2的鈍角中,是鈍角,請你利用圖2幫小麗探究與之間的關(guān)系,并寫出探究過程.
(3)在銳角中,,,之間存在什么關(guān)系,請你探究并直接寫出結(jié)論.
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【題目】如圖,已知矩形ABCD中,AB=6,AD=10,動點P從點D出發(fā),在邊DA上以每秒1個單位的速度向點A運動,連接CP,作點D關(guān)于直線PC的對稱點E,設(shè)點P的運動時間為t(x),當(dāng)P,E,B三點在同一直線上時對應(yīng)t的值為 .
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