Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠D．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BC=4，AB=8時(shí)，求劣弧AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,弧長(zhǎng)的計(jì)算

專題：

分析：（1）連接BC，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠EAC=∠D，則可得AE是⊙O的切線；
（2）首先連接OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得∠AOC=120°，由弧長(zhǎng)公式，即可求得劣弧AC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BAC+∠ABC=90°
又∵∠EAC=∠D，∠B=∠D，
∴∠BAC+∠CAE=90°
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；

（2）連接CO，
∵△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC=

BC

AB

=

4

8

=

1

2

，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，

120•π×4

180

=

8π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長(zhǎng)公式等知識(shí)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．