Question

12．定義：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是在[m，n]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)．”例如：函數(shù)y=-x+4，當(dāng)x=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，即當(dāng)1≤x≤3時(shí)，有1≤y≤3，所以說(shuō)函數(shù)y=-x+4是在[1，3]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)．”
（1）正比例函數(shù)y=x是在[1，2015]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
（2）若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是在[2，6]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；
（3）如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，BC=1，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），若一次函數(shù)y=kx+b（k＜0）是在[m，n]范圍的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，當(dāng)直線y=kx+b與矩形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)，求m+n的最大值；
（4）在（3）的條件下，若直線y=kx+b與矩形ABCD沒有公共點(diǎn)時(shí)，求m+n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”的定義，找出當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=2015時(shí)，y=2015．由此即可得出函數(shù)y=x是在[1，2015]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”；
（2）分k＞0和k＜0兩種情況考慮，根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”的定義，即可得出關(guān)于k、b的二元一次方程組，解方程組即可求出k、b的值，從而得出函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”的定義，即可得出關(guān)于m、k、b、n的四元一次方程組，解方程組即可得出k=0，從而得出b=m+n，根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合AB=2，BC=1，B（2，2）即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，分別代入B、D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出直線y=kx+b與矩形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)，m+n的取值范圍，由此即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)（3）的結(jié)論即可得出當(dāng)直線y=kx+b與矩形ABCD沒有公共點(diǎn)時(shí)，m+n的取值范圍．

解答 解：（1）正比例函數(shù)y=x是在[1，2015]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，理由如下：
當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=2015時(shí)，y=2015．
即當(dāng)1≤x≤2015時(shí)，有1≤y≤2015，
∴函數(shù)y=x是在[1，2015]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”．
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{6k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴此函數(shù)的解析式為y=x；
當(dāng)k＜0時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{6k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴此函數(shù)的解析式為y=-2x+10．
綜上可知：若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是在[2，6]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，則該函數(shù)的解析式為y=x或y=-2x+10．
（3）∵一次函數(shù)y=kx+b（k＜0）是在[m，n]范圍的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=n}\\{nk+b=m}\end{array}\right.$，解得：k=-1，
∴m+n=b，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+（m+n）．
∵矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，BC=1，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）．
當(dāng)點(diǎn)B在該一次函數(shù)圖象上時(shí)，有2=-2+（m+n），
解得：m+n=4；
當(dāng)點(diǎn)D在該一次函數(shù)圖象上時(shí)，有4=-3+（m+n），
解得：m+n=7．
∴當(dāng)直線y=kx+b與矩形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)，m+n的取值范圍為4≤m+n≤7，
∴當(dāng)直線y=kx+b與矩形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)，m+n的最大值為7．
（4）由（3）可知：直線y=kx+b與矩形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)，4≤m+n≤7，
∴若直線y=kx+b與矩形ABCD沒有公共點(diǎn)時(shí)，m+n的取值范圍為m+n＜4或m+n＞7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解二元一次方程組、矩形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”的定義確定函數(shù)y=x是在[1，2015]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”；（2）分k＞0和k＜0兩種情況考慮；（3）求出k=-1，b=m+n；（4）依據(jù)（3）結(jié)論得出m+n的取值范圍．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”的定義找出方程組是關(guān)鍵．