已知拋物線與x軸交于A(-1,0)和B(3,0)兩點,且與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸方程和頂點M坐標(biāo);
(3)求四邊形ABMC的面積.
【答案】
分析:(1)已知了三點的坐標(biāo),可用交點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式然后將C點的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式即可求出對稱軸方程及M的坐標(biāo)(可用配方法進(jìn)行求解).
(3)由于四邊形ABMC不是規(guī)則的四邊形,因此可過M作x軸的垂線,將四邊形ABMC分成梯形和兩個直角三角形三部分來求.
解答:解:(1)由題意,可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3).
將C點坐標(biāo)代入后可得:
3=a(0+1)(0-3),
即a=-1
因此拋物線的解析式為:y=-(x+1)(x-3)=-x
2+2x+3;
(2)由(1)的拋物線的解析式可知:y=-x
2+2x+3=-(x-1)
2+4,
因此拋物線的對稱軸方程為:x=1;頂點M的坐標(biāo)為:M(1,4).
(3)過M作MN⊥x軸于N,
則有S
四邊形ABMC=S
△AOC+S
△BMN+S
梯形MNOC=
•OA•OC+
•BN•MN+
(OC+MN)•ON
=
×1×3+
×2×4+
×(3+4)×1
=9;
因此四邊形ABMC的面積為9.
點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及圖形面積的求法.
當(dāng)圖形的形狀不規(guī)則時,可將圖形分割成幾個規(guī)則圖形,然后利用這些圖形的面積的“和,差”關(guān)系來求解.