Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，BC=6，AB=8．延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AE=15，連接BE交AC于點(diǎn)P．
（1）求AP的長(zhǎng)；
（2）若以A為圓心，AP為半徑作⊙A，試判斷BE與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若以A為圓心，r₁為半徑作⊙A，使點(diǎn)D在⊙A內(nèi)，點(diǎn)B在⊙A外，則r₁的取值范圍是

 

，在這一條件下，若再以C為圓心，r₂為半徑作⊙C與⊙A相切，則r₂的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）先利用勾股定理計(jì)算出AC=10，再證明△PBC∽△PEA，然后利用相似比和比例性質(zhì)計(jì)算AP；
（2）利用

AB

AC

≠

AC

AB

，可判斷△BAP與△CAB不相似，則AP與BE不垂直，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷；
（3）根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到0≤r₁＜6，再利用兩圓相切的性質(zhì)得到r₁=10-r₂，則0≤10-r₂＜6，然后解不等式組．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，BC=6，AB=8．
∴AC=

AB2+BC2

=10，
，∵BC∥AE，
∴△PBC∽△PEA，
∴

PC

PA

=

BC

AE

=

6

15

=

2

5

，
∴

PC+AP

AP

=

7

5

，
∴AP=

5

7

×10=

50

7

；

（2）∵

AB

AC

≠

AC

AB

，
∴△BAP與△CAB不相似，
∴AP與BE不垂直，
∴BE與⊙A的位置關(guān)系為相交；

（3）若以A為圓心，r₁為半徑作⊙A，使點(diǎn)D在⊙A內(nèi)，點(diǎn)B在⊙A外，則r₁的取值范圍為0≤r₁＜6；
∵r₁+r₂=10，
∴r₁=10-r₂，
∴0≤10-r₂＜6，
∴4＜r₂≤10．
故答案為0≤r₁＜6；4＜r₂≤10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系：若兩圓的圓心距、半徑分別為d、R、r，則①兩圓外離?d＞R+r；②兩圓外切?d=R+r；③兩圓相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）；④兩圓內(nèi)切?d=R-r（R＞r）；⑤兩圓內(nèi)含?d＜R-r（R＞r）．也考查了點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系．