Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后到達(dá)AE位置，連接DE、CE，設(shè)∠BCE=β．

（1）如圖1，若α=90°，求β的大小；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系？并對(duì)你的結(jié)論給出證明；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，試加以證明，若不成立，試找出α與β之間的新關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵∠DAB=α-∠DAC，∠EAC=α-∠DAC，
∴∠EAC=∠DAB．
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC．
∴∠ECA=∠B=45°．
∴β=∠ACB+ECA=90°．

（2）α+β=180°．
證明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
又AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β．
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°．

（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論不能成立，此時(shí)：α=β成立．
其理由如下：
類似（2）可證∴△DAB≌△ECA，
∴∠DBA=∠ECA，
又由三角形外角性質(zhì)有∠DBA=α+∠DCA，
而∠ACE=β+∠DCA，
∴α=β．
分析：（1）先利用邊角邊定理證明△DAB與△EAC全等，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠ECA=∠B=45°，β的值即可求出；
（2）方法同（1）證出∠ECA=∠B，所以∠B+∠ACB=β，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到α+β=180°；
（3）方法同（2）證出∠ECA=∠ABD，所以α+∠DCA=β+∠DCA，所以α=β．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形等腰三角形的性質(zhì)及全等的判定和全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，做題中，注意題中各角度之間的關(guān)系并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．