【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,﹣6),C(6,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使四邊形PACB的面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)Q為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試指出△QAB為等腰三角形的點(diǎn)Q一共有幾個(gè)?并請(qǐng)求出其中某一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣5x﹣6;(2)存在,P(2,﹣12);(3)Q點(diǎn)一共有5個(gè),(,﹣).
【解析】
試題分析:(1)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,﹣6),C(6,0),可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣6),代入B(5,﹣6)即可求得函數(shù)的解析式;(2)作輔助線,將四邊形PACB分成三個(gè)圖形,兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形,設(shè)P(m,m2﹣5m﹣6),四邊形PACB的面積為S,用字母m表示出四邊形PACB的面積S,發(fā)現(xiàn)是一個(gè)二次函數(shù),利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求極值,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)分三種情況畫(huà)圖:①以A為圓心,AB為半徑畫(huà)弧,交對(duì)稱(chēng)軸于Q1和Q4,有兩個(gè)符合條件的Q1和Q4;②以B為圓心,以BA為半徑畫(huà)弧,也有兩個(gè)符合條件的Q2和Q5;③作AB的垂直平分線交對(duì)稱(chēng)軸于一點(diǎn)Q3,有一個(gè)符合條件的Q3;最后利用等腰三角形的腰相等,利用勾股定理列方程求出Q3坐標(biāo).
試題解析:(1)設(shè)y=a(x+1)(x﹣6)(a≠0),
把B(5,﹣6)代入:a(5+1)(5﹣6)=﹣6,
a=1,
∴y=(x+1)(x﹣6)=x2﹣5x﹣6;
(2)存在,
如圖1,分別過(guò)P、B向x軸作垂線PM和BN,垂足分別為M、N,
設(shè)P(m,m2﹣5m﹣6),四邊形PACB的面積為S,
則PM=﹣m2+5m+6,AM=m+1,MN=5﹣m,CN=6﹣5=1,BN=5,
∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC
=(﹣m2+5m+6)(m+1)+(6﹣m2+5m+6)(5﹣m)+×1×6
=﹣3m2+12m+36
=﹣3(m﹣2)2+48,
當(dāng)m=2時(shí),S有最大值為48,這時(shí)m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12,
∴P(2,﹣12),
(3)這樣的Q點(diǎn)一共有5個(gè),連接Q3A、Q3B,
y=x2﹣5x﹣6=(x﹣)2﹣;
因?yàn)镼3在對(duì)稱(chēng)軸上,所以設(shè)Q3(,y),
∵△Q3AB是等腰三角形,且Q3A=Q3B,
由勾股定理得:(+1)2+y2=(﹣5)2+(y+6)2,
y=﹣,
∴Q3(,﹣).
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(1)b= ;
(2)求證:四邊形BCDE是平行四邊形;
(3)在直線y=﹣x+b上是否存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形BCDE為正方形?若存在,請(qǐng)求出所有符合的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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