Question

【題目】如圖，已知反比例函數(shù)y=（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（1，4），點B（m，n），其中m＞1，AM⊥x軸，垂足為M，BN⊥y軸，垂足為N，AM與BN的交點為C．

（1）求出反比例函數(shù)解析式；

（2）求證：△ACB∽△NOM．

（3）延長線段AB，交x軸于點D，若點B恰好為AD的中點，求此時點B的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析；（3）B（2,2）

【解析】

(1)將點A的坐標代入反比例函數(shù)y=（x＞0，k是常數(shù)）中，即可求得;

(2)由于∠ACB =∠NOM = 90°，所以要證ΔACB∽ΔNOM，只要即可，由已知分別求出和，證明它們相等即可;

(3)由AM⊥x軸求得AM＝4，由BN//OD可得，點C是AM的中點，則CM＝2，則點B的縱坐標為2，從而求得點B橫坐標.

(1)∵反比例函數(shù)y=（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（1，4），

∴k=xy=4,

∴反比例函數(shù)解析式:y=(x>0);

(2) ∵ B（m，n），A（1，4），∴AC = 4–n，BC = m–1，ON = n，OM = 1.
∴=.
∵點B（m，n）在y=上，

∴m= .

∴=m-1.
又∵.

∴.
又∵∠ACB =∠NOM = 90°，

∴ ΔACB∽ΔNOM.

(3) ∵AM⊥x軸,且A（1，4），

∴點C的橫坐標1，AM＝4，

∵BN//x軸，點B是AD的中點，

∴點C是AM的中點，

∴CM＝2，即點B的縱坐標為2，

又∵點B在反比例函數(shù)y=上，

∴點B縱坐標為2，

∴點B的坐標為（2，2）.