Question

【題目】已知：如圖，直線y＝x﹣15與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）若這拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．對稱軸與x軸交于點(diǎn)H，求△DAC的面積；

（3）若點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)．CE與DH交于點(diǎn)G，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，△POH是否能夠與△CGH相似？如果能，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣15；（2）△DAC的面積為72；（3）△POH能夠與△CHG相似，相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（0，6）或P2（0，）．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)的解析式，求得A、B的坐標(biāo)，再代入拋物線得出方程組，即可求出拋物線的解析式；

（2）分別求出點(diǎn)D、點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得答案；

（3）根據(jù)題目的條知點(diǎn)G是△DAC的重心，首先求得的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出兩個(gè)比例式，代入即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）∵y＝x﹣15，

y＝0時(shí)，0＝x﹣15，

∴x＝15，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣15，

∴A（15，0），B（0，﹣15），

代入得，

解得，

∴拋物線的解析式：．

（2）拋物線的解析式可變形為，

∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，12），

設(shè)y＝0，則，

∴（x﹣9）2＝36．

∴x1＝3，x2＝15，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），

∴．

（3）∵點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AC的中點(diǎn)，．

∴點(diǎn)G是△DAC的重心．如圖：

∵頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，12），

∴，

∴HO＝9，CH＝6．

設(shè)△POH∽△GHC時(shí)，

，

∴

∴PO＝6，

∴P1（0，6）；

△POH∽△CHG時(shí)，，

，

∴．

∴．

∴△POH能夠與△CHG相似，相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（0，6）或．