【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,點D在BC邊上(不與B、C重合),在AC上取一點E,使∠ADE=30°.
(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)若BD=n(0<n<2),求線段AE的長;(用含n的代數(shù)式表示)
(3)當△ADE是等腰三角形時,請直接寫出AE的長.
【答案】(1)見解析;(2)AE=n2﹣n+2(0<x<2);(3)AE=4﹣2或
【解析】
(1)根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)如圖1,作高AF,根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)求AF的長,根據(jù)勾股定理求BF的長,則可得BC的長,根據(jù)(1)中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式,并確定取值;
(3)分三種情況進行討論:
①當AD=DE時,如圖2,由(1)可知:此時△ABD≌△DCE,則AB=CD,即2=2﹣x;
②當AE=ED時,如圖3,則ED=EC,即y=(2﹣y);
③當AD=AE時,∠AED=∠EDA=30°,∠EAD=120°,此時點D與點B重合,不符合題意,此情況不存在.
證明:(1)∵△ABC是等腰三角形,且∠BAC=120°,
∴∠ABD=∠ACB=30°,
∴∠ABD=∠ADE=30°,
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB,
∴∠EDC=∠DAB,
∴△ABD∽△DCE;
(2)如圖1,
∵AB=AC=2,∠BAC=120°,
過A作AF⊥BC于F,
∴∠AFB=90°,
∵AB=2,∠ABF=30°,
∴AF=AB=1,
∴BF=,
∴BC=2BF=2
則DC=2﹣n,EC=2﹣AE,
∵△ABD∽△DCE,
解得:AE=n2﹣n+2(0<x<2);
(3)當AD=DE時,如圖2,
由(1)可知:此時△ABD≌△DCE,
則AB=CD,即2=2﹣n,
n=2﹣2,代入AE=n2﹣n+2
解得:AE=
當AE=ED時,如圖3,
∠EAD=∠EDA=30°,∠AED=120°,
∴∠DEC=60°,∠EDC=90°,
則ED=EC,即AE=(2﹣AE),
解得:AE=,
當AD=AE時,
∠AED=∠EDA=30°,∠EAD=120°,
此時點D與點B重合,不符合題意,此情況不存在,
∴當△ADE是等腰三角形時,AE=4﹣2或.
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,矩形ABOC的邊BO,CO分別在x軸,y軸上,A點的坐標為(﹣8,6),點P在矩形ABOC的內(nèi)部,點E在BO邊上,滿足△PBE∽△CBO,當△APC是等腰三角形時,P點坐標為_____.
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【題目】已知:如圖,直線y=x﹣15與x軸、y軸分別相交于點A和點B.拋物線經(jīng)過A、B兩點.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)若這拋物線的頂點為點D,與x軸的另一個交點為點C.對稱軸與x軸交于點H,求△DAC的面積;
(3)若點E是線段AD的中點.CE與DH交于點G,點P在y軸的正半軸上,△POH是否能夠與△CGH相似?如果能,請求出點P的坐標;如果不能,請說明理由.
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【題目】綦江中學(xué)新校區(qū)建設(shè)正按計劃順利推進,其中有一塊矩形地面準備用同樣規(guī)格的黑、白兩色的正方形瓷磚按如圖所示的設(shè)計進行鋪設(shè),請觀察下列圖形并解答有關(guān)問題.
第n個圖中共有塊瓷磚用含n的代數(shù)式表示;
按上述鋪設(shè)方案,鋪這塊矩形地面共用了506塊瓷磚,求此時n的值;
是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形?請通過計算說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的兩邊OA,OC分別在x軸和y軸上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn),使點A恰好落在BC邊上的A1處,則點C的對應(yīng)點C1的坐標為_____.
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【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB’C’D’,圖中陰影部分的面積為( ).
A. B. C. D.
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【題目】如圖,平面直角坐標系中兩條直線OC⊥BC,垂足為C,其OC=2cm,∠COB=60°,反比例函數(shù)y=的圖象過點C.
(1)求:反比例函數(shù)表達式和點B的坐標.
(2)若現(xiàn)有長為1cm的線段MN在線段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向點B運動(運動前點M與點O重合,N到點B停止運動),過M、N作OB的垂線分別交直線OC、BC于P、Q兩點,線段MN運動的時間為ts.
①若△OMP的面積為S.求出當0<t≤1時,S與t的函數(shù)關(guān)系式.
②線段MN運動過程中,四邊形MNQP有可能成為矩形嗎?若可能,直接寫出此時t的值;若不可能,說明理由.
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【題目】如圖,已知直線l1∥l2∥l3∥l4,相鄰兩條平行線間的距離都是1,正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上,則正方形ABCD的面積為
A. B. 5C. 3D.
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【題目】如圖,把一張長,寬的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形,再折合成一個無蓋的長方體盒子(紙板的厚度忽略不計).
(1)要使長方體盒子的底面積為,求剪去的正方形的邊長;
(2)你覺得折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況?如果有,請求出側(cè)面積的最大值和此時剪去的正方形的邊長;如果沒有,請你說明理由.
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