Question

13．設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，記作y=f（x）．在函數(shù)y=f（x）中，當(dāng)自變量x=a時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值y可以表示為f（a）．
例如：函數(shù)f（x）=x²-2x-3，當(dāng)x=4時(shí)，f（4）=4²-2×4-3=5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)給出如下定義：
如果函數(shù)y=f（x）在a≤x≤b的范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且f（a）．f（b）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在a≤x≤b的范圍內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c（a≤c≤b），使f（c）=0，則c叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，c也是方程f（x）=0在a≤x≤b范圍內(nèi)的根．
例如：二次函數(shù)f（x）=x²-2x-3的圖象如圖1所示．
觀察可知：f（-2）＞0，f（1）＜0，則f（-2）．f（1）＜0．所以函數(shù)f（x）=x²-2x-3在-2≤x≤1范圍內(nèi)有零點(diǎn)．由于f（-1）=0，所以，-1是f（x）=x²-2x-3的零點(diǎn)，-1也是方程x²-2x-3=0的根．
（1）觀察函數(shù)y₁=f（x）的圖象2，回答下列問題：
①f（a）•f（b）＜0（“＜”“＞”或“=”）
②在a≤x≤b范圍內(nèi)y₁=f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1．
（2）已知函數(shù)y₂=f（x）=-$\sqrt{3}{x^2}-2\sqrt{3}（a-1）x-\sqrt{3}（{a^2}-2a）$的零點(diǎn)為x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂．
①求零點(diǎn)為x₁，x₂（用a表示）；
②在平面直角坐標(biāo)xOy中，在x軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)是零點(diǎn)x₁，x₂，點(diǎn) P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合），在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點(diǎn)為Q，若a是整數(shù)，求拋物線y₂的表達(dá)式并直接寫出線段PQ長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)函數(shù)的增減性，函數(shù)值的乘積，可得答案；
②根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)，可得答案；
（2）①根據(jù)零點(diǎn)函數(shù)值，可得方程，根據(jù)解一元二次方程，可得答案；
②將x₁、x₂的表達(dá)式代入x₁＜1＜x₂中即可求出a的取值范圍，結(jié)合a是整數(shù)的條件可求出a的值，由此可確定拋物線的解析式；求PQ的取值范圍時(shí)，過C作CD⊥x軸于D，連接CQ；根據(jù)拋物線的解析式，易求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得到AD、CD的長(zhǎng)，由此可求出∠BAC=60°，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可得到∠ABC=∠BAC=60°，由此可知△ABC是等邊三角形，而△AMP、△BNP也是等邊三角形，那么M、N分別在線段OC和線段BC上；易知CM∥PN，MP∥BC，則四邊形PNCM是平行四邊形，而Q是MN的中點(diǎn)，則Q也是CP的中點(diǎn)，即C、Q、P三點(diǎn)共線，由此可得PC=2PQ；在等邊三角形ABC中，P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，且不與A、B重合，因此PQ的取值范圍應(yīng)該在AD和AC長(zhǎng)之間，可據(jù)此求出PQ的取值范圍．

解答 解：（1）①由圖象1，得f（a）•f（b）＜0，

②在a≤x≤b范圍內(nèi)y₁=f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 1．
故答案為：＜，1；   
（2）①∵x₁、x₂是零點(diǎn)
∴當(dāng)y=0時(shí)，即-$\sqrt{3}{x^2}-2\sqrt{3}（a-1）x-\sqrt{3}（{a^2}-2a）$=0．
方程可化簡(jiǎn)為 x²+2（a-1）x+（a²-2a）=0．
解方程，得x=-a或x=-a+2．
∵x₁＜1＜x₂，-a＜-a+2，
∴x₁=-a，x₂=-a+2．
②∵x₁＜1＜x₂，
∴-a＜1＜-a+2．
∴-1＜a＜1．
∵a是整數(shù)，
∴a=0，所求拋物線的表達(dá)式為y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$．
此時(shí)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（1，$\sqrt{3}$）如圖2，
，
作CD⊥AB于D，連接CQ，
則AD=1，CD=$\sqrt{3}$，tan∠BAC=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=60°
由拋物線的對(duì)稱性可知△ABC是等邊三角形；
由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN的中點(diǎn)為Q可得，
點(diǎn)M、N分別在AC和BC邊上，四邊形PMCN的平行四邊形，
C、Q、P三點(diǎn)共線，且PQ=$\frac{1}{2}$PC；
∵點(diǎn)P線段AB上運(yùn)動(dòng)的過程中，P與A、B兩點(diǎn)不重合，
DC≤PC＜AC，DC=$\sqrt{3}$，AC=2，
即$\frac{DC}{2}$≤PQ＜$\frac{AC}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤PQ＜1；
線段PQ的長(zhǎng)的取值范圍為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$≤PQ＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)解析式的確定，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，此題的難點(diǎn)在于PQ的取值范圍，熟練掌握并能靈活運(yùn)用拋物線、等邊三角形、不等式等相關(guān)知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．