Question

2．已知反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{3x}$的圖象與一次函數(shù)y=k₂x+m的圖象交于A（-1，a），B（$\frac{1}{3}$，-3）兩點，連結(jié)AO．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；
（2）若直線AB交x軸于點C，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）把點（$\frac{1}{3}$，-3）代入反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{3x}$的即可求出k₁的值，進而求出反比例函數(shù)的解析式；再把點A的坐標代入反比例函數(shù)的關(guān)系式求出a的值，把A、B兩點坐標代入一次函數(shù)的關(guān)系式即可求出一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中求出的一次函數(shù)的關(guān)系式求出點C的坐標，再根據(jù)S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC進行解答；

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{3x}$過B（$\frac{1}{3}$，-3），
∴-3=$\frac{{k}_{1}}{1}$，即k₁=-3，
∴此反比例函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{1}{x}$；
∵反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{3x}$過A（-1，a），
∴a=-$\frac{1}{-1}$=1；
∵一次函數(shù)y=k₂x+m的圖象交于兩點A（-1，1），B（$\frac{1}{3}$，-3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{2}+m=1}\\{\frac{1}{3}{k}_{2}+m=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-3}\\{m=-2}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)y=k₂x+m的解析式為：y=-3x-2；

（2）∵直線AB的解析式為y=-3x-2，
∴C（-$\frac{2}{3}$，0），
∴OC=$\frac{2}{3}$，
∵A（-1，1），B（$\frac{1}{3}$，-3），
∴S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×3=$\frac{1}{3}$+1=1$\frac{1}{3}$．
故△AOB的面積是1$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的關(guān)系式，在解（2）時能根據(jù)S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC求解是解答此題的關(guān)鍵．