【題目】如圖1:拋物線yax2+bx+3x軸于點AB,連接AC、BCtanABC1,tanBAC3

1)求拋物線的解析式;

2)如圖2,點P在第一象限的拋物線上,連接PC、PA,若點P橫坐標為t,△PAC的面積為S,求St的函數(shù)關(guān)系式;

3)在(2)的條件下,當S3時,點G為第二象限拋物線上一點,連接PG,CHPG于點H,連接OH,若tanOHG,求GH的長.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2St2+t;(3GH

【解析】

1)根據(jù)解析式得到OC=3,再根據(jù)已知條件求出點A、B的坐標即可求出解析式;

2)根據(jù)點A、P的坐標求出直線AP的解析式,得到直線與y軸交點R的坐標,即可求出St的函數(shù)關(guān)系式;

3)先求出點P的坐標得到CPx軸,作CHGP,作HMCP,過點OONCHCH的延長線于點N,分別求出CH、ON、CN,根據(jù)tanOHG求出點H的坐標,根據(jù)直線PG求出點G的坐標,即可得到答案.

解:(1)由題意得c3,∴OC3,

tanABC1,∴OB3,

tanBAC3,∴OA1,

∴點A、BC的坐標分別為:(﹣1,0)、(3,0)、(0,3),

則拋物線的表達式為:yax+1)(x3),

將點C坐標代入上式并解得:a=﹣1,

∴拋物線的表達式為:y=﹣x2+2x+3;

2)點Pt,﹣t2+2t+3),點A(﹣1,0),

將點P、A坐標代入一次函數(shù)表達式ykx+b并解得:

直線PA的表達式為:y=(3t)(x+1),

設(shè)直線APy軸于點R,則R03t),

SCR×xPxA)=33+t)(t+1)=t2+t;

3St2+t3,解得:t=﹣3(舍去)或2,

∴點P23),

∵點C0,3),

連接CP,則CPx軸,

CHGP,則∠CPH=∠OCHα

HMCP,則∠CHM=∠HCOα,

過點OONCHCH的延長線于點N,

CP2,OC3

CHCPsinα2sinα,ONOCsinα3sinα,CNOCcosα3cosα

ONCN,GHCH

∴∠HON=∠OHG,

tanHONtanOHG,

解得:tan,則sinαcosα

MHCHcosα2sinαcosα,CMCHsinα

∴點H,);

設(shè)點Gm,﹣m2+2m+3),而點P23),

由點GP的坐標得,直線PG表達式中的k值為:﹣m=﹣tanα-,

∴點G(﹣,),

由點G、H的坐標得,GH

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