Question

【題目】如圖1：拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A、B，連接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，連接PC、PA，若點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，△PAC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S＝3時(shí)，點(diǎn)G為第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接PG，CH⊥PG于點(diǎn)H，連接OH，若tan∠OHG＝，求GH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S＝t2+t；（3）GH＝

【解析】

（1）根據(jù)解析式得到OC=3，再根據(jù)已知條件求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可求出解析式；

（2）根據(jù)點(diǎn)A、P的坐標(biāo)求出直線AP的解析式，得到直線與y軸交點(diǎn)R的坐標(biāo)，即可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)得到CP∥x軸，作CH⊥GP，作HM⊥CP，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CH交CH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，分別求出CH、ON、CN，根據(jù)tan∠OHG＝求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，根據(jù)直線PG求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，即可得到答案.

解：（1）由題意得c＝3，∴OC＝3，

∵tan∠ABC＝1，∴OB＝3，

∵tan∠BAC＝3，∴OA＝1，

∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），

則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3），

將點(diǎn)C坐標(biāo)代入上式并解得：a＝﹣1，

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）點(diǎn)P（t，﹣t2+2t+3），點(diǎn)A（﹣1，0），

將點(diǎn)P、A坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y＝kx+b并解得：

直線PA的表達(dá)式為：y＝（3﹣t）（x+1），

設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)R，則R（0，3﹣t），

S＝CR×（xP﹣xA）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；

（3）S＝t2+t＝3，解得：t＝﹣3（舍去）或2，

∴點(diǎn)P（2，3），

∵點(diǎn)C（0，3），

連接CP，則CP∥x軸，

作CH⊥GP，則∠CPH＝∠OCH＝α，

作HM⊥CP，則∠CHM＝∠HCO＝α，

過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CH交CH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

CP＝2，OC＝3，

CH＝CPsinα＝2sinα，ON＝OCsinα＝3sinα，CN＝OCcosα＝3cosα，

∵ON⊥CN，GH⊥CH，

∴∠HON＝∠OHG，

∴tan∠HON＝＝tan∠OHG＝，

解得：tan，則sinα＝，cosα＝，

MH＝CHcosα＝2sinαcosα＝，CM＝CHsinα＝，

∴點(diǎn)H（，）；

設(shè)點(diǎn)G（m，﹣m2+2m+3），而點(diǎn)P（2，3），

由點(diǎn)G、P的坐標(biāo)得，直線PG表達(dá)式中的k值為：﹣m＝﹣tanα＝-，

∴點(diǎn)G（﹣，），

由點(diǎn)G、H的坐標(biāo)得，GH＝．