Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），D是OA的中點(diǎn)，OE⊥CD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OE運(yùn)動(dòng)．

（1）求直線OE的解析式；

（2）設(shè)以C，P，D，B為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒），求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)N為矩形的中心，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使以P，C，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x；（2）S=；（3）存在， t=時(shí)，P（，），t=時(shí)，P（2，2），t=時(shí)，P（3，3）．

【解析】分析: （1）先求出∠COE=45°，進(jìn)而求出CE=OC=2，即可得出結(jié)論；

（2）分點(diǎn)P在OM，在ME，OE的延長(zhǎng)線上，利用面積的和差即可得出結(jié)論；

（3）分三種情況，利用勾股定理建立方程求出時(shí)間t，即可得出結(jié)論.

詳解:

（1）由題意得，OD=OC=2，

∵OE⊥CD，

∴OE平分∠COD，

∴∠COE=∠AOC=45°，

∴OC=CE=2，

∴E（2，2），設(shè)直線OE的解析式為y=kx，將點(diǎn)E坐標(biāo)代入得，2=2k，

∴k=1，

∴直線OE的解析式為y=x；

（2）在Rt△COE中，根據(jù)勾股定理得，OE=2，

由題意得，以點(diǎn)C，P，D，B為頂點(diǎn)的圖形是四邊形，

∴t≠且t，

分三種情況：

設(shè)OE與CD的交點(diǎn)為M，

①當(dāng)點(diǎn)P在OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜，

S=S矩形OABC﹣S△POC﹣S△POD﹣S△DAB=8﹣﹣﹣2=﹣2t+6；

②當(dāng)點(diǎn)P在ME上運(yùn)動(dòng)時(shí)，＜t＜，以點(diǎn)C，P，D，B為頂點(diǎn)的四邊形為凹四邊形，不符合題意，

③點(diǎn)P在OE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t＞，

S=S△CDB+S△PCB==2t；

S=；

（3）存在，理由：PC2=（t）2+（2﹣t）2=4t2﹣4t+4，PN2=（2﹣t）2+（1﹣t）2=4t2﹣6t+5，NC2=5，

①當(dāng)∠CPN=90°時(shí)，PC2+PN2=CN2，

∴4t2﹣4t+4+4t2﹣6t+5=5，

∴t=或t=；

∴P（，）或（2，2）；

②當(dāng)∠PNC=90°時(shí)，CN2+PN2=PC2，

∴5+4t2﹣6t+5=4t2﹣4t+4，

∴t=，

點(diǎn)P（3，3），

③當(dāng)∠PCN=90°時(shí)，PC2+CN2=PN2，4t2﹣4t+4+5=4t2﹣6t+5，

∴t=﹣，此時(shí)不存在點(diǎn)P，

即：t=時(shí)，P（，），t=時(shí)，P（2，2），t=時(shí)，P（3，3）．

點(diǎn)睛: 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)，待定系數(shù)法，幾何圖形的面積的計(jì)算方法，勾股定理，利用勾股定理建立方程是解本題的關(guān)鍵.