Question

【題目】在正方形中，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連結(jié)交直線于點(diǎn)E．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的形狀是_____________________；

（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，如圖2．

①依題意補(bǔ)全圖2；

②判斷的形狀，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形；（2）①補(bǔ)全圖形;②的形狀是等腰三角形,證明見解析.

【解析】

（1）由在正方形ABCD中，可得∠ABC=90°，AB=BC，又由點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)M，N分別為BC，AP的中點(diǎn)，易得BN=BM，即可判定△EPN的形狀是：等腰直角三角形；

（2）①首先根據(jù)題意畫出圖形；

②首先在MC上截取MF，使MF=PM，連接AF，易得MN是△APF的中位線，證得∠1=∠2，易證得△ABF≌△DCP（SAS），則可得∠2=∠3，繼而證得∠1=∠2，則可判定△EPM的形狀是：等腰三角形.

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

∵點(diǎn)M，N分別為BC，AP的中點(diǎn)，

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，BN=BM，

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，△EPM的形狀是：等腰直角三角形；

故答案為：等腰直角三角形；

（2）補(bǔ)全圖形，如圖1所示．　

的形狀是等腰三角形．

證明： 在MC上截取MF，使MF = PM，連結(jié)AF，

如圖2所示．∵ N是AP的中點(diǎn)，PM = MF，

∴MN是△APF的中位線．∴MN∥AF．

∴．=

∵ M是BC的中點(diǎn)，PM = MF，∴BM+MF=CM+PM．即BF=PC．

∵四邊形ABCD是正方形，∴，AB=DC．

∴△ABF≌△DCP． ∴．

∴．

∴EP=EM．∴△EPM是等腰三角形．