Question

在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G．一等腰直角三角尺按如圖-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B．

⑴ 在圖-1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

⑵ 當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖-2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E．此時(shí)請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE＋DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

⑶ 當(dāng)三角尺在⑵的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖-3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，⑵中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）

Answer 1

（1）BF=CG；

證明：在△ABF和△ACG中，

∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，

∴△ABF≌△ACG（AAS），

∴BF=CG．

（2）DE+DF=CG；

證明：過點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H（如圖）．

            

∵DE⊥BA于點(diǎn)E，∠G=90°，DH⊥CG，

∴四邊形EDHG為矩形，∴DE=HG，DH∥BG．∴∠GBC=∠HDC．

∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，

∴△FDC≌△HCD（AAS），∴DF=CH．

∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．

（3）仍然成立．