Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有?OCDE和一直角三角形OMN，∠OMN=90°，點(diǎn)C，點(diǎn)M分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)E、D在第一象限，點(diǎn)N在第三象限，OC=6，OE=4，∠EOC=60°，N（-2

3

，-2），M（0，2）
（1）將△OMN繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（其中M與A對(duì)應(yīng)，N與B對(duì)應(yīng)）；
（2）求過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線；
（3）將△OAB向右沿x軸平移，求△OAB與?OCDE重合部分的面積y與平移的距離m之間的函數(shù)關(guān)系式（其中0＜m＜8）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出圖形；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥OC于P．利用平行四邊形的性質(zhì)易求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），把點(diǎn)C，D的坐標(biāo)代入來(lái)求a、b的值；
（3）由（2）可得tan∠AOB=

2 3

2

=

3

，∠AOB=60°，且AB=EP，∠BAO=∠EPO=90°，故B、E、D三點(diǎn)共線．
分類(lèi)討論：①當(dāng)0＜m≤2時(shí)，如圖2，重疊部分是等邊△OO₁F₁；
②當(dāng)2＜m≤4時(shí)，如圖3，重疊部分的面積為四邊形A₂O₂F₂H．
③當(dāng)4＜m≤6時(shí)，如圖4，重疊部分的面積為△A₃B₃O₃；
④當(dāng)6＜m＜8時(shí)，如圖5，重疊部分的面積為四邊形CF₄B₄A₄．

解答：解：（1）如圖1，△ABO即為所求；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥OC于P．
∵OC=6，∴C（6，0）．
∵OE=4，∠EOC=60°，
∴OP=OE•cos60°=2，EP=OE•sin60°=2

3

，
∴E（2，2

3

）．
∵四邊形OCDE是平行四邊形，
∴ED

∥

.

OC，∴D（8，2

3

）．
設(shè)過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），把點(diǎn)D，C的坐標(biāo)代入，得

0=36a+6b 2 3 =64a+8b

，
解得

a= 3 8 b=- 3 4 3

，
則該拋物線的解析式為：y=

3

8

x²-

3 3

4

x；

（3）由（2）可得tan∠AOB=

2 3

2

=

3

，
∴∠AOB=60°，且AB=EP，∠BAO=∠EPO=90°，
∴B、E、D三點(diǎn)共線．
①當(dāng)0＜m≤2時(shí)，如圖2，重疊部分是等邊△OO₁F₁，則y=

3

4

m²；
②當(dāng)2＜m≤4時(shí)，如圖3，重疊部分的面積為四邊形A₂O₂F₂H．
OA₂=m-2，A₂H=（m-2）•tan60°=

3

（m-2），
則y=

3

4

m²-

3

2

（m-2）²=-

3

4

m²+2

3

m-2

3

；
③當(dāng)4＜m≤6時(shí)，如圖4，重疊部分的面積為△A₃B₃O₃，則y=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
④當(dāng)6＜m＜8時(shí)，如圖5，重疊部分的面積為四邊形CF₄B₄A₄，則y=2

3

-

3

4

（m-6）²=-

3

4

m²+3

3

m-7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及三角形面積的計(jì)算．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．