Question

如圖1，正方形ABCD中，點E、F分別在邊DC、AD上，且AE⊥BF于G．
（1）求證：BF=AE；
（2）如圖2，當點E在DC延長線上，點F在AD延長線上時，（1）中結論是否成立？（直接寫結論）
（3）在圖2中，若點M、N、P、Q分別為四邊形AFEB四條邊AF、EF、EB、AB的中點，且AF：AD=4：3，求S_{四邊形MNPQ}：S_{正方形ABCD}．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據正方形的性質就可以求出△ABF≌△DAE，就可以得出結論；
（2）根據正方形的性質就可以求出△ABF≌△DAE就可以得出BF=AE；
（3）根據條件可以設AF=4a，AD=3a，就可以求出DF=CE=a，由勾股定理就可以求出AE，由中位線的性質就可以求出MN的值，表示出正方形MNPQ的面積，就可以求出結論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．
∴∠DAE+∠BAE=90°．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB+∠GBA=90°，
∴∠DAE=∠ABG．
在△ABF和△DAE中，

∠DAB=∠ADC AB=DA ∠ABG=∠DAE

，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF=AE；

（2）結論成立　即AE=BF．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．
∴∠DAE+∠BAE=90°．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB+∠GBA=90°，
∴∠DAE=∠ABG．
在△ABF和△DAE中，

∠DAB=∠ADC AB=DA ∠ABG=∠DAE

，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF=AE；

（3）∵AF：AD=4：3，設AF=4a，AD=3a，
∴DF=a．
∵△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，
∴AF-AD=DE-DC，
∴DF=CE，
∴CE=a．
∵點M、N、P、Q分別為四邊形AFEB四條邊AF、EF、EB、AB的中點，
∴MN是△AEF的中位線，MQ是△ABF的中位線，
∴MN=

1

2

AE，MN∥AE，MQ=

1

2

BF，MQ∥BF．
∴MN=MQ．∠MNP=∠NPQ=∠PQM=90°，
∴四邊形MNPQ是正方形．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
BF=5a．
∴MN=MQ=

5

2

a．
∴S_{四邊形MNPQ}=

25

4

a2．
∵S_{正方形ABCD}=9a²，
∴S_{四邊形MNPQ}：S_{正方形ABCD}=

25

4

a2：9a²=25：36．
答：S_{四邊形MNPQ}：S_{正方形ABCD}=25：36．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，三角形的中位線的判定及性質的運用，證明三角形全等和運用三角形的中位線的性質是關鍵．