Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求△DEF的面積．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：首先連接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜邊的中線，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，從而可證：△AED≌△CFD，所以可得：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF為等腰直角三角形，在Rt△AEF中，運用勾股定理可將EF的值求出，進而可求出DE、DF的值，代入S_△EDF=

1

2

DE²進行求解．

解答：解：連接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD為BC邊的中線，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF
在△AED與△CFD中，

∠EDA=∠CDF AD=CD ∠EAD=∠C

，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF=5，同理AF=BE=12．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=5²+12²=169．
∴EF=13，
∵DE=DF，
∴△DEF為等腰直角三角形，DE²+DF²=EF²=169，
∴DE=DF=

13 2

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×

169

4

×2=

169

4

．

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等．