Question

【題目】如圖，在△ABC 中，∠C=90°
（1）利用尺規(guī)作∠B 的角平分線交AC于D，以BD為直徑作⊙O交AB于E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）綜合應(yīng)用：在（1）的條件下，連接DE ①求證：CD=DE；
②若sinA= ，AC=6，求AD．

Answer 1

【答案】
（1）解：
（2）解：①∵BD為⊙O的直徑；

∴∠BED=90°，

又∵∠C=90°；

∴DE⊥AB，DC⊥BC；

又∵BD平分∠ABC；

∴DE=DC；

②在Rt△ADE中，sinA=

∵sinA=

∴ =

設(shè)DC=DE=3x，AD=5x

∵AC=AD+DC

∴3x+5x=6x=

AD=5x=5× =

【解析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）有BD為⊙O的直徑；得到∠BED=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）解直角三角形即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握?qǐng)A周角定理和解直角三角形是解答本題的根本，需要知道頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．