Question

等邊△ABO在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，BO邊在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0）點(diǎn)，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

（2）如圖，直線y=kx+2

3

與x軸，y軸交于C，D兩點(diǎn)，與（1）中的反比例函數(shù)的圖象交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，EG⊥x軸于G點(diǎn)，F(xiàn)H⊥y軸于H點(diǎn)，若△DFH的面積記為S_△DFH，已知S_△DFH+S_△FOE+S_△ECG=

7

8

S_△COD，求k的值；


（3）如圖，點(diǎn)D為（1）中的等邊△ABO外任意一點(diǎn)，且∠ADO=30°，連接AD，OD，BD，則AD²，OD²，BD²之間存在一個(gè)數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和B點(diǎn)坐標(biāo)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出解析式．
（2）根據(jù)面積關(guān)系和（1）的關(guān)系式可用帶有k的式子表示出，又因?yàn)镺D=2

3

，從而可確定出函數(shù)解析式．
（3）AD²，OD²，BD²之間存在的數(shù)量關(guān)系是BD²=OD²+AD²，以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊三角形ODP，連接AP，則△ADP為直角三角形；則AP²=DP²+AD²，可證△BOD≌△AOP（SAS），得BD=AP，從而可得BD²=DP²+AD²=OD²+AD²．

解答：解：（1）則AB=BO=AO=2，過(guò)A作AM⊥BO于點(diǎn)M，
則OM=

1

2

BO=1，AM=

AO2-OM2

=

3

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，

3

）
則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=-

3

x

；

（2）∵S_△DFH+S_△FOE+S_△ECG=

7

8

S_△COD，
∴S_△EGO+S_△FOH=

1

8

S_△COD
又∵S_△EGO=S_△FOH=

1

2

|k|=

3

2

，
則S_△COD=8

3

，因?yàn)镺D=2

3

，
∴OC=8，則C（-8，0），
∵直線y=kx+2

3

過(guò)C（-8，0），則k=

3

4

；

（3）AD²，OD²，BD²之間存在的數(shù)量關(guān)系是BD²=OD²+AD²，
以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊三角形ODP，連接AP，則△ADP為直角三角形；
則AP²=DP²+AD²
∵OB=OA，
∠BOD=∠AOP=60°+∠AOD，
OD=OP，
∴△BOD≌△AOP（SAS），
∴BD=AP
∴BD²=DP²+AD²=OD²+AD²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，屬于難度比較大的題目，做的時(shí)候注意題目所給的條件，也要數(shù)形結(jié)合來(lái)做題．