Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F，使EF=AE，連接FB，FC．

(1)求證：四邊形ABFC是菱形；

(2)若AD=6，BE=2，求四邊形ABFC的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)16．

【解析】

(1)根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=90°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定定理證明結(jié)論；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)求出CE，根據(jù)切割線定理求出CD，根據(jù)勾股定理、菱形的面積公式計(jì)算，得到答案．

(1)證明：∵AB是圓的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵EF=AE，

∴CB是線段AF的垂直平分線，

∴BA=BF，CA=CF，

∵AB=AC，

∴BA=BF=CA=CF，

∴四邊形ABFC是菱形；

(2)解：∵四邊形ABFC是菱形，

∴CE=BE=2，

由切割線定理得，CDCA=CECB，即CD(CD+6)=2×4，

解得，CD1=2，CD2=-8(舍去)

∴AC=8，

由勾股定理得，AE==2，

∴AF=4，

則四邊形ABFC的面積=×4×4=16．