Question

如圖，把等邊△ABC的外接圓對折，使點A的劣弧BC的中點M重合，折痕分別交AB、AC于D、E，若BC=6，則線段DE的長為

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：連接AM、OB，則其交點O即為此圓的圓心，根據(jù)正三角形的性質(zhì)可知，∠OBC=∠OAD=30°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出OB的長；在Rt△AOD中，進而可依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出OD的長，由垂徑定理得出DE的長即可．

解答：解：連接AM、OB，
則其交點O即為此圓的圓心；
∵△ABC是正三角形，
∴∠OBC=∠OAD=30°，DE∥BC，
在Rt△OBF中，BF=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴OB=

BF

cos30°

=2

3

，
∴OA=OB=2

3

；
在Rt△AOD中，∠DAO=30°，
∴OD=OA•tan30°=2

3

×

3

3

=2，
DE=2DO=4．
故答案為：4．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形的性質(zhì)，綜合性比較強，難度適中．