Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AC=80，BD=60．動(dòng)點(diǎn)M、N分別以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā)，分別沿A→O→D和D→A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求菱形ABCD的周長(zhǎng)；

（2）記△DMN的面積為S，求S關(guān)于t的解析式，并求S的最大值；

（3）當(dāng)t=30秒時(shí)，在線段OD的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得∠DPO=∠DON？若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出點(diǎn)P到線段OD的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】相似形綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì)，求出菱形的周長(zhǎng)；

（2）在動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：①當(dāng)0＜t≤40時(shí)，如答圖1所示，②當(dāng)40＜t≤50時(shí)，如答圖2所示．分別求出S的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；

（3）如答圖3所示，在Rt△PKD中，DK長(zhǎng)可求出，則只有求出tan∠DPK即可．為此，在△ODM中，作輔助線，構(gòu)造Rt△OND，作∠NOD平分線OG，則∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，從而問(wèn)題解決．解答中提供另外一種解法，請(qǐng)參考．

【解答】解：（1）在菱形ABCD中，

∵AC⊥BD

∴AD==50．

∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為200．

（2）過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AD，垂足為點(diǎn)P．

①當(dāng)0＜t≤40時(shí)，如答圖1，

∵sin∠OAD===，

∴MP=AM•sin∠OAD=t．

S=DN•MP=×t×t=t²；

②當(dāng)40＜t≤50時(shí)，如答圖2，MD=70﹣t，

∵sin∠ADO===，∴MP=（70﹣t）．

∴S_△DMN=DN•MP=×t×（70﹣t）=t²+28t=（t﹣35）²+490．

∴S=

當(dāng)0＜t≤40時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480．

當(dāng)40＜t≤50時(shí)，S隨t的增大而減小，當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480．

綜上所述，S的最大值為480．

（3）存在2個(gè)點(diǎn)P，使得∠DPO=∠DON．

方法一：如答圖3所示，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥OD于點(diǎn)F，

則NF=ND•sin∠ODA=30×=24，DF=ND•cos∠ODA=30×=18．

∴OF=12，∴tan∠NOD===2．

作∠NOD的平分線交NF于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥ON于點(diǎn)H，則FG=GH．

∴S_△ONF=OF•NF=S_△OGF+S_△OGN=OF•FG+ON•GH=（OF+ON）•FG．

∴FG===，

∴tan∠GOF===．

設(shè)OD中垂線與OD的交點(diǎn)為K，由對(duì)稱性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG

∴tan∠DPK===，

∴PK=．

根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知，在線段OD的下方存在與點(diǎn)P關(guān)于OD軸對(duì)稱的點(diǎn)P′．

∴存在兩個(gè)點(diǎn)P到OD的距離都是．

方法二：答圖4所示，作ON的垂直平分線，交OD的垂直平分線EF于點(diǎn)I，連結(jié)OI，IN．

過(guò)點(diǎn)N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分別為G，H．

當(dāng)t=30時(shí)，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，

∴，即．

∴NG=24，DG=18．

∵EF垂直平分OD，

∴OE=ED=15，EG=NH=3．

設(shè)OI=R，EI=x，則

在Rt△OEI中，有R²=15²+x²        ①

在Rt△NIH中，有R²=3²+（24﹣x）²     ②

由①、②可得：

∴PE=PI+IE=．

根據(jù)對(duì)稱性可得，在BD下方還存在一個(gè)點(diǎn)P′也滿足條件．

∴存在兩個(gè)點(diǎn)P，到OD的距離都是．

（注：只求出一個(gè)點(diǎn)P并計(jì)算正確的扣．）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形、等腰三角形、中垂線、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．第（2）問(wèn)中，動(dòng)點(diǎn)M在線段AO和OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是兩種不同的情形，需要分類討論；第（3）問(wèn)中，滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)，注意不要漏解．