【題目】如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)),直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn),其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;
(2)P是線段AC上的一個動點(diǎn),過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn),求線段PE長度的最大值;
(3)點(diǎn)G拋物線上的動點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)F,使A、C、F、G這樣的四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:令y=0,解得x1=﹣1或x2=3

∴A(﹣1,0)B(3,0)

將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3

∴C(2,﹣3)

∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1


(2)

解:設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x(﹣1≤x≤2)

則P、E的坐標(biāo)分別為:P(x,﹣x﹣1)

E(x,x2﹣2x﹣3)

∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方,PE=(﹣x﹣1)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+x+2=﹣(x﹣ 2+

∴當(dāng) 時,PE的最大值=


(3)

解:存在4個這樣的點(diǎn)F,分別是F1(1,0),F(xiàn)2(﹣3,0),F(xiàn)3(4+ ,0),F(xiàn)4(4﹣ ,0).

①如圖,連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn),那么CG∥x軸,此時AF=CG=2,因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是(﹣3,0);

②如圖,AF=CG=2,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,0),因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0);

③如圖,此時C,G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù),因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為(1+ ,3),由于直線GF的斜率與直線AC的相同,因此可設(shè)直線GF的解析式為y=﹣x+h,將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=﹣x+4+ .因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4+ ,0);

④如圖,同③可求出F的坐標(biāo)為(4﹣ ,0).

綜合四種情況可得出,存在4個符合條件的F點(diǎn)


【解析】(1)因?yàn)閽佄锞與x軸相交,所以可令y=0,解出A、B的坐標(biāo).再根據(jù)C點(diǎn)在拋物線上,C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,代入拋物線中即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo).再根據(jù)兩點(diǎn)式方程即可解出AC的函數(shù)表達(dá)式;(2)根據(jù)P點(diǎn)在AC上可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo).E點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)已知的拋物線求得.因?yàn)镻E都在垂直于x軸的直線上,所以兩點(diǎn)之間的距離為yp﹣yE , 列出方程后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案;(3)存在四個這樣的點(diǎn).
①連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn),那么CG∥x軸,此時AF=CG=2,因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是(﹣3,0);
②AF=CG=2,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,0),因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0);
③此時C,G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱,因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為(1+ ,3),由于直線GF的斜率與直線AC的相同,因此可設(shè)直線GF的解析式為y=﹣x+h,將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=﹣x+7.因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4+ ,0);
④如圖,同③可求出F的坐標(biāo)為(4﹣ ,0);
綜合四種情況可得出,存在4個符合條件的F點(diǎn).

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