Question

15．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)C、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，a），C（b，0）滿足$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0．
（1）則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．
（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個(gè)單位長度每秒的速度勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，2），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使S_△ODP=S_△ODQ？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由
（3）點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，滿足∠FOC=∠FCO，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，連OG，使得∠AOG=∠AOF．點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連CE交OF于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過程中，$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請求出它的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得a，b的值即可；
（2）先得出CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根據(jù)S_△ODP=S_△ODQ，列出關(guān)于t的方程，求得t的值即可；
（3）過H點(diǎn)作AC的平行線，交x軸于P，先判定OG∥AC，再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行線的性質(zhì)，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0，
解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0）；

（2）由條件可知：P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)間為2秒，Q點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)間為2秒，
∴0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在線段AO上，
即 CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，
∴${S_{△DOP}}=\frac{1}{2}OP•{y_D}=\frac{1}{2}（2-t）×2=2-t$，${S_{△DOQ}}=\frac{1}{2}OQ•{x_D}=\frac{1}{2}×2t×1=t$，
∵S_△ODP=S_△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1；

（3）$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$的值不變，其值為2．
∵∠2+∠3=90°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如圖，過H點(diǎn)作AC的平行線，交x軸于P，則∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}=\frac{∠1+∠2+∠4+∠4}{∠1+∠4}=\frac{2（∠1+∠4）}{∠1+∠4}=2$．

點(diǎn)評 本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵值作輔助線構(gòu)造平行線．解題時(shí)注意：任意一個(gè)數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根具有非負(fù)性，非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0．