在第一象限內,以
5
為半徑的圓⊙M經過點A(-1,0),B(3,0),與y軸相交于點C.
(1)在所給的坐標系中作出⊙M,并求M點的坐標;
(2)求經過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(3)若D為⊙M上的最低點,E為x軸上的任一點,則在拋物線上是否存在這樣的點F,使得以點A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點F的坐標;若不存在,說出理由.
(1)∵A(-1,0),B(3,0),
∴AB=3-(-1)=3+1=4,
作AB的垂直平分線交AB于N,則AN=
1
2
AB=
1
2
×4=2,
∴ON=AN-AO=2-1=1,
根據勾股定理,MN=
AM2-AN2
=
5
2
-22
=1,
∴點M的坐標為(1,1),
取MN=1,以點M為圓心,以AM長為半徑作⊙M如圖所示;

(2)設點C的坐標為(0,y),
則MC=
(1-0)2+(1-y)2
=
5
,
解得y1=-1,y2=3,
由圖可知,點C在y軸負半軸,
∴點C的坐標為(-1,0),
設拋物線解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=-1
,
解得
a=
1
3
b=-
2
3
c=-1
,
所以,拋物線解析式為y=
1
3
x2-
2
3
x-1;

(3)∵D為⊙M上的最低點,
∴點D的坐標為(1,1-
5
),
∵E為x軸上的任一點,以點A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,
∴AEDF,
①點F在x軸下方,點F的縱坐標與點D的縱坐標相同,為1-
5
,
∵點F在拋物線上,
1
3
x2-
2
3
x-1=1-
5
,
整理得,x2-2x-6+3
5
=0,
△=b2-4ac=4-4(-6+3
5
)=28-12
5

∴x=
28-12
5
2×1
=1±
7-3
5
,
∴點F的坐標為F1(1+
7-3
5
,1-
5
),F(xiàn)2(1-
7-3
5
,1-
5
),
此時可以分別以AD為平行四邊形的邊和對角線作一個平行四邊形,共有4個平行四邊形,
②點F在x軸上方時,點F的縱坐標與點的縱坐標的長度相同,為
5
-1,
∵點F在拋物線上,
1
3
x2-
2
3
x-1=
5
-1,
整理得,x2-2x-3
5
=0,
△=b2-4ac=4-4×(-3
5
)=4+12
5
,
∴x=
4+12
5
2
=1±
1+3
5
,
∴點F的坐標分別為F3(1+
1+3
5
,
5
-1),F(xiàn)4(1-
1+3
5
,
5
-1),
此時,以AD為平行四邊形的邊共可以作2個平行四邊形,
綜上所述,共有6個符合條件的平行四邊形,滿足條件的F點有4個,分別是:
F1(1+
7-3
5
,1-
5
),F(xiàn)2(1-
7-3
5
,1-
5
),F(xiàn)3(1+
1+3
5
,

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c經過A,B,C三點,當x≥0時,其圖象如圖所示.
(1)求拋物線的解析式,寫出拋物線的頂點坐標;
(2)畫出拋物線y=ax2+bx+c當x<0時的圖象;
(3)利用拋物線y=ax2+bx+c,寫出x為何值時,y>0.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C(0,3),過點C作x軸的平行線與拋物線交于點D,拋物線的頂點為M,直線y=x+5經過D、M兩點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)連接AM、AC、BC,試比較∠MAB和∠ACB的大小,并說明你的理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線與x交于A(-1,0)、E(3,0)兩點,與y軸交于點B(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設拋物線頂點為D,△AOB與△DBE是否相似?如果相似,請給以證明;如果不相似,請說明理由.
(3)若點P為第一象限拋物線上一動點,連接BP、PE,求四邊形ABPE面積的最大值,并求此時P點的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,Rt△AOB中,∠A=90°,以O為坐標原點建立直角坐標系,使點A在x軸正半軸上,OA=2,AB=8,點C為AB邊的中點,拋物線的頂點是原點O,且經過C點.
(1)填空:直線OC的解析式為______;拋物線的解析式為______;
(2)現(xiàn)將該拋物線沿著線段OC移動,使其頂點M始終在線段OC上(包括端點O、C),拋物線與y軸的交點為D,與AB邊的交點為E;
①是否存在這樣的點D,使四邊形BDOC為平行四邊形?如存在,求出此時拋物線的解析式;如不存在,說明理由;
②設△BOE的面積為S,求S的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=mx2+nx+p與y=x2+6x+5關于y軸對稱,與y軸交于點M,與x軸交于點A和B.
(1)y=mx2+nx+p的解析式為______,試猜想出與一般形式拋物線y=ax2+bx+c關于y軸對稱的二次函數(shù)解析式為______.
(2)A,B的中點是點C,則sin∠CMB=______.
(3)如果過點M的一條直線與y=mx2+nx+p圖象相交于另一點N(a,b),a,b滿足a2-a+m=0,b2-b+m=0,則點N的坐標為______.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=(x+1)2+k與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,-3)
(1)求拋物線的對稱軸及k的值;
(2)拋物線的對稱軸上存在一點P,使得PA+PC的值最小,求此時點P的坐標;
(3)點M是拋物線上的一動點,且在第三象限.
①當M點運動到何處時,△AMB的面積最大?求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標;
②當M點運動到何處時,四邊形AMCB的面積最大?求出四邊形AMCB的最大面積及此時點的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

如圖,中國首個空間實驗室“天宮一號”于2011年9月29日成功發(fā)射.某科技實驗小組也自行設計了火箭,經測試,該種火箭被豎直向上發(fā)射時,它的高度h(m)與時間t(s)的關系可以用公式h=-t2+10t-15表示,經過______s,火箭達到它的最高點10米處.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,用一塊長為50cm、寬為30cm的長方形鐵片制作一個無蓋的盒子,若在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形,設小正方形的邊長為xcm.
(1)底面的長AB=______cm,寬BC=______cm(用含x的代數(shù)式表示)
(2)當做成盒子的底面積為300cm2時,求該盒子的容積.
(3)該盒子的側面積S是否存在最大的情況?若存在,求出x的值及最大值是多少?若不存在,說明理由.

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同步練習冊答案