Question

17．四邊形ABCD為正方形，
（1）如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊AB和AD上，且AE=AF．此時(shí)，線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系是BE=DF，位置關(guān)系是BE⊥DF．請(qǐng)直接寫出結(jié)論．
（2）如圖2，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，連接BE、DF，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)α=90°時(shí)，連接BE、DF，若正方形的邊長(zhǎng)為1，猜想當(dāng)AE=AE=（$\sqrt{2}$-1）AD時(shí)，直線DF垂直平分BE．請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程．
（4）如圖4，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：正方形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠ADF，延長(zhǎng)DF交BE于O，求出∠ABE+∠BGO=90°，從而得到∠BOD=90°，根據(jù)垂直的定義得到BE⊥DF；
（3）連接BD，直線DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=$\sqrt{2}$AD，解答出即可；
（4）如圖4，通過(guò)證明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，結(jié)合（2）中結(jié)論，可得到各邊中點(diǎn)所組成的四邊形的形狀

解答 解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，
∵AE=AF，
∴AB-AE=AD-AF，
即BE=DF，
∵∠A=90°，
∴BE⊥DF，
故答案為BE=DF，BE⊥DF；
（2）成立；
理由：如圖②，

∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
延長(zhǎng)DF交BE于O，
∵∠ADF+∠AGF=90°，∠AGF=∠BGO（對(duì)頂角相等），
∴∠ABE+∠BGO=90°，
∴∠BOD=180°-90°=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；
（3）如圖③，

連接BD，
∵直線DF垂直平分BE，
∴AD+AE=BD，BD=$\sqrt{2}$AD，
∴AE=（$\sqrt{2}$-1）AD；
故答案為AE=（$\sqrt{2}$-1）AD．
（4）如圖④，

連接BE、DF，
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
設(shè)DF交BE于點(diǎn)P，
∵∠ADY+∠DYA=90°，∠DYA=∠BYP（對(duì)頂角相等），
∴∠ABE+∠BYP=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；
∴順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形．
故答案為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及中點(diǎn)四邊形的判定，熟記各性質(zhì)求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．