Question

（1）閱讀填空：

如圖1，AB∥DE，試問∠B、∠E、∠BCE有什么關(guān)系． 
解：∠B+∠E=∠BCE 
過點(diǎn)C作CF∥AB，
則∠B=∠1【

 

】
又∵AB∥DE，AB∥CF，
∴CF∥DE
∴∠E=∠2【

 

】
∴∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠BCE． 
（2）應(yīng)用解答：
觀察上面圖形與結(jié)論，解決下面的問題：
如圖2，∠DAB+∠B+∠BCE=360°，作∠BCF=∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于F，若∠F的余角等于2∠B的補(bǔ)角，求∠BAH的度數(shù)．
（3）拓展深化：
如圖3，在前面的條件下，若點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，Q是GE上任一點(diǎn)，QR平分∠PQR，PM∥QR，PN平分∠APQ，下列結(jié)論：①∠APQ+∠NPM的值不變；②∠NPM的度數(shù)不變，可以證明，只有一個(gè)是正確的，請你做出正確的選擇并求值．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）答案為兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
（2）首先設(shè)∠BAF=x°，∠BCF=y°，過點(diǎn)B作BM∥AD，過點(diǎn)F作FN∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的補(bǔ)角，可得方程：90-（x+2y）=180-2（2x+y），繼而求得答案．
（3）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠MPQ=∠PQR=

1

2

∠PQG，然后根據(jù)∠APQ=∠PAH+∠PQG，
列式表示出∠NPM=

1

2

∠APQ-

1

2

∠PQG=

1

2

（∠APQ-∠PQG）=

1

2

∠PAH=30°，從而判定②正確．

解答：解：（1）故答案為兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

（2）設(shè)∠BAF=x°，∠BCF=y°，
∵∠BCF=∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點(diǎn)F，
∴∠HAF=∠BAF=x°，∠BCG=∠BCF=y°，∠BAH=2x°，∠GCF=2y°，
過點(diǎn)B作BM∥AD，過點(diǎn)F作FN∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥FN∥BM∥CE，
∴∠AFN=∠HAF=x°，∠CFN=∠GCF=2y°，∠ABM=∠BAH=2x°，∠CBM=∠GCB=y°，
∴∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，
∵∠F的余角等于2∠B的補(bǔ)角，
∴90-（x+2y）=180-2（2x+y），
解得：x=30，
∴∠BAH=60°．

（3）如圖，
由（1）可知∠APQ=∠PAH+∠PQG，
∴∠PAH=∠APQ-∠PQG，
∵QR平分∠PQR，PM∥QR，
∴∠MPQ=∠PQR=

1

2

∠PQG，
∵PN平分∠APQ，
∴∠NPM=

1

2

∠APQ-

1

2

∠PQG=

1

2

（∠APQ-∠PQG）=

1

2

∠PAH，
∵點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，
∴∠PAH=60°，
∴∠NPM=30°；
∴①∠APQ+∠NPM的值隨∠DGP的變化而變化；②∠NPM的度數(shù)為30°不變．

點(diǎn)評：本題考查了角平分線的定義，平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．此題考查了平行線的性質(zhì)與判定以及余角、補(bǔ)角的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，理清各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．