Question

7．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C，頂點為D，E為對稱軸與x軸的交點，A（1，0），B（3，0）
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為拋物線上第四象限對稱軸左側(cè)上一點，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，過C點作射線CP交對稱軸于K，CM⊥DE交拋物線于M，連接PM交對稱軸于R，若DK=3RN，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點代入拋物線解析式即可．
（2）如圖1中，過點B作BF⊥x軸，過點C作CF⊥y軸，設(shè)點P坐標(biāo)（m，-m²+4m-3），根據(jù)s=S_△PCF+S_△PBF-S_△BCF即可解決．
（3）如圖2中，設(shè)點P坐標(biāo)（m，-m²+4m-3），先求出直線PC、PM的解析式，再求出點K、R坐標(biāo)，列方程解決即可．

解答 解（1）把A（1，0），B（3，0）代入y=-x²+bx+c
得$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x-3  
 （2）如圖1中，過點B作BF⊥x軸，過點C作CF⊥y軸，設(shè)點P坐標(biāo)（m，-m²+4m-3）
∵點C（0，-3），
∴CF=BF=3，
∴s=S_△PCF+S_△PBF-S_△BCF=$\frac{1}{2}$×3×（-m²+4m-3+3）+$\frac{1}{2}$×3×（3-m）-$\frac{1}{2}$×3×3
∴S=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m
（3）如圖2中，設(shè)點P坐標(biāo)（m，-m²+4m-3），
設(shè)直線PC的解析式為：y=kx-3，把點p代入得k=-m+4，
∴直線PC為y=（-m+4）x-3，
∴點K坐標(biāo)（2，-2m+5），
∵點M坐標(biāo)（4，-3），
設(shè)直線PM為y=k′x+b，把P、M兩點代入得$\left\{\begin{array}{l}{mk′+b=-{m}^{2}+4m-3}\\{4k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-m}\\{b=4m-3}\end{array}\right.$，
∴直線PM為y=-mx+4m-3，
∴的R坐標(biāo)為（2，2m-3），
∵DK=3RN，D（2，1），N（2，-3）
∴-2m+5-1=3[2m-3-（-3）]，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)知識，學(xué)會待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，在坐標(biāo)系中會利用分割法求三角形面積，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．