【題目】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,點E為線段AC上一點,連接DE,過點EEFDE,交射線BC于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG。

(1)求證:矩形DEFG是正方形。

(2)當點EA點運動到C點時;

①求證:∠DCG的大小始終不變;

②若正方形ABCD的邊長為2,則點G運動的路徑長為

【答案】(1)詳見解析;(2)①詳見解析;②

【解析】

1)要證明矩形DEFG為正方形,只需要證明它有一組臨邊(DEEF)相等即可,而要證明兩條線段相等,需證明它們所在的三角形全等,如下圖本小題的關鍵是證明△EMF≌△END,∠MEF=∠NED可用等角的余角證明,EM=EN可用角平分線上的點到角兩邊距離相等,∠EMF和∠END為一組直角相等,所以可以用ASA證明它們?nèi)龋?/span>

(2)此類題,前面的問題是給后面做鋪墊,第一問已經(jīng)證明四邊形DEFG為正方形,結合第一問我們很容易發(fā)現(xiàn)并證明ADECDG,從而得到∠DCG=∠CAD=45°;

3)當當E點在A處時,點G在C處;當E點在C處時,點G在AD的延長線上,并且AD=DG,以CD為邊作正方形,我們會發(fā)現(xiàn)G點的運動軌跡剛好是正方形的對角線,它的長度等于.

證明:(1)

EM⊥BC,EN⊥CD,

∵四邊形ABCD為正方形

∴∠DCB=90°,∠ACB=∠ACD=45°

又∵EM⊥BC,EN⊥CD,

∴EM=EN(角平分線上的點到角兩邊距離相等),

∠MEN=90°,

∴∠MEF+∠NEF=90°,

∵四邊形DEFG為矩形,

∴∠DEF=90°,

∴∠NED+∠NEF=90°,

∴∠MEF=∠NED,

在△EMF和△END中

∴△EMF≌△END,

∴DE=DF,

∴矩形DEFG為正方形;

(2)①證明:∵正方形ABCD、DEFG

AD=CDED=GD

∵∠ADE+DEC=90°,∠CDG+EDC=90°

∴∠ADE=CDG

在△ADE和△CDG中,

AD=CD,∠ADE=CDG,ED=GD

ADECDG

∴∠DCG=EAD=45°

∴∠DCG的大小始終保持不變

以CD為邊作正方形DCPQ,連接QC

∴∠DCQ=45°,

又∵∠DCG=45°

∴C、G、Q在同一條直線上,

當E點在A處時,點G在C處;當E點在C處時,點G在Q處,

∴G點的運動軌跡為QC,

∵正方形ABCD的邊長為2

所以QC= ,

即點G運動的路徑長為

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,點P在矩形ABCD的對角線AC上,且不與點A,C重合,過點P分別作邊AB,AD的平行線,交兩組對邊于點E,F(xiàn)和點G,H.

(1)求證:△PHC≌△CFP;

(2)證明四邊形 PEDH和四邊形 PGBF都是矩形,并直接寫出它們面積之間的關系。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】探索與發(fā)現(xiàn)

(1)正方形ABCD中有菱形PEFG,當它們的對角線重合,且點P與點B重合時(如圖1),通過觀察或測量,猜想線段AECG的數(shù)量關系,并證明你的猜想

(2)當(1)中的菱形PEFG沿著正方形ABCD的對角線平移到如圖2的位置時,猜想線段AECG的數(shù)量關系,只寫出猜想不需證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】將正整數(shù)12019按照一定規(guī)律排成下表:

aij表示第i行第j個數(shù),如a144表示第1行第4個數(shù)是4

1)直接寫出a35 ,a54 ;

2)①若aij2019,那么i ,j ,②用i,j表示aij ;

3)將表格中的5個陰影格子看成一個整體并平移,所覆蓋的5個數(shù)之和能否等于2026.若能, 求出這5個數(shù)中的最小數(shù),若不能請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點,連接AF、BE交于點G,連接CE、DF交于點H.

1)求證:四邊形EGFH為平行四邊形;

2)當= 時,四邊形EGFH為矩形。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圖甲是一個長為,寬為的長方形,沿圖甲中虛線用剪刀均勻分成四小塊長方形,然后按圖乙的形狀拼成一個正方形.

1)求圖乙中陰影部分正方形的邊長(用含字母,的整式表示);

2)請用兩種不同的方法求圖乙中陰影部分的面積.

3)觀察圖乙,并結合(2)中的結論,寫出下列三個整式:,之間的等量關系;

4)根據(jù)(3)題中的等量關系,解決如下問題:若,,求的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】1955年,印度數(shù)學家卡普耶卡()研究了對四位自然數(shù)的一種變換:任給出四位數(shù),用的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù),再減去它的反序數(shù)(即將的四個數(shù)字由小到大排列,規(guī)定反序后若左邊數(shù)字有0,則將0去掉運算,比如0001,計算時按1計算),得出數(shù),然后繼續(xù)對重復上述變換,得數(shù),…,如此進行下去,卡普耶卡發(fā)現(xiàn),無論是多大的四位數(shù),只要四個數(shù)字不全相同,最多進行次上述變換,就會出現(xiàn)變換前后相同的四位數(shù),這個數(shù)稱為變換的核.則四位數(shù)9631的變換的核為______.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】畫圖,探究:

1)一個正方體組合圖形的主視圖、左視圖(如圖1)所示.

①這個幾何體可能是(圖2)甲、乙中的   ;

②這個幾何體最多可由   個小正方體構成,請在圖3中畫出符合最多情況的一個俯視圖.

2)如圖,已知一平面內(nèi)的四個點A、B、CD,根據(jù)要求用直尺畫圖.

①畫線段AB,射線AD;

②找一點M,使M點即在射線AD上,又在直線BC上;

③找一點N,使NA、B、CD四個點的距離和最短.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在同一平面中,兩條直線相交有一個交點,三條直線兩兩相交最多有3個交點,四條直線兩兩相交最多有6個交點……由此猜想,當相交直線的條數(shù)為n時,最多可有的交點數(shù)m與直線條數(shù)n之間的關系式為:m=_____.(用含n的代數(shù)式填空)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案