【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,D為⊙O上一點,過 上一點T作⊙O的切線TC,且TC⊥AD于點C.
(1)若∠DAB=50°,求∠ATC的度數(shù);
(2)若⊙O半徑為2,CT= ,求AD的長.
【答案】
(1)解:連接OT,如圖1:
∵TC⊥AD,⊙O的切線TC,
∴∠ACT=∠OTC=90°,
∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO,
∴∠CAT=∠ATO,
∵OA=OT,
∴∠OAT=∠ATO,
∴∠DAB=2∠CAT=50°,
∴∠CAT=25°,
∴∠ATC=90°﹣25°=65°
(2)解:過O作OE⊥AC于E,連接OT、OD,如圖2:
∵AC⊥CT,CT切⊙O于T,
∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90°,
∴四邊形OECT是矩形,
∴OT=CE=OD=2,
∵OE⊥AC,OE過圓心O,
∴AE=DE= AD,
∵CT=OE= ,
在Rt△OED中,由勾股定理得:ED= ,
∴AD=2
【解析】(1)連接OT,根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠ATO,進(jìn)而得出∠DAB=2CAT,解答即可;(2)過O作OE⊥AC于E,連接OT、OD,得出矩形OECT,求出OT=CE,根據(jù)垂徑定理求出DE,根據(jù)矩形性質(zhì)求出OT=CT,根據(jù)勾股定理求出即可.
【考點精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識點,需要掌握切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知l1⊥l2 , ⊙O與l1 , l2都相切,⊙O的半徑為2cm.矩形ABCD的邊AD,AB分別與l1 , l2重合,AB=4 cm,AD=4cm.若⊙O與矩形ABCD沿l1同時向右移動,⊙O的移動速度為3cm/s,矩形ABCD的移動速度為4cm/s,設(shè)移動時間為t(s).
(1)如圖②,兩個圖形移動一段時間后,⊙O到達(dá)⊙O1的位置,矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置,此時點O1 , A1 , C1恰好在同一直線上,則移動時間t= .
(2)在移動過程中,圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化,設(shè)該距離為d(cm).當(dāng)d<2時,求t的取值范圍 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正比例函數(shù)y=kx經(jīng)過點A(2,4),AB⊥x軸于點B.
(1)求該正比例函數(shù)的解析式;
(2)將△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC,求點C的坐標(biāo);
(3)試判斷點C是否在直線y= x+1的圖象上,說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A1 , A2 , A3 , …An是x軸上的點,且OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An=1,分別過點A1 , A2 , A3 , …An作x軸的垂線交反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象于點B1 , B2 , B3 , …Bn , 過點B2作B2P1⊥A1B1于點P1 , 過點B3作B3P2⊥A2B2于點P2…,記△B1P1B2的面積為S1 , △B2P2B3的面積為S2…,△BnPnBn+1的面積為Sn , 則S1+S2+S3+…+Sn= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,∠BAC的平分線與線段BC的垂直平分線PQ相交于點P,過點P分別作PN垂直于AB于點N,PM垂直于AC于點M,BN和CM有什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法:
①兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.
②角的對稱軸是角平分線
③兩邊對應(yīng)相等的兩直角三角形全等
④成軸對稱的兩圖形一定全等
⑤到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上,
正確的有 個.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,二次函數(shù)y= x2+bx+c與一次函數(shù)y= x﹣3的圖象都經(jīng)過x軸上點A(4,0)和y軸上點B(0,﹣3),過動點M(m,0)(0<m<4)作x軸的垂線交直線AB于點C,交拋物線于點P.
(1)求b,c的值;
(2)點M在運動的過程中,能否使△PBC為直角三角形?如果能,求出點P的坐標(biāo);如果不能,請說明理由;
(3)如圖2,過點P作PD⊥AB于點,設(shè)△PCD的面積為S1 , △ACM的面積為2 , 若 = ,
①求m的值;
②如圖3,將線段OM繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到OM′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接M'A、M'B,求M'A+ M'B的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,DE⊥AC于點E,且AE=CE,DE=5,EB=12.
(1)求AD的長;
(2)若∠CAB=30°,求四邊形ABCD的周長.
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