Question

5．如圖，已知拋物線y=ax²-x+c經(jīng)過點(diǎn)Q （-2，4），且它的頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1．設(shè)拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，
（1）求拋物線的解析式；
（2）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)PB與y軸交于C點(diǎn)，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)Q坐標(biāo)，以及頂點(diǎn)P坐標(biāo)，列出關(guān)于a與c的方程組，求出方程組的解得到a與c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）對(duì)于拋物線解析式，令y=0，求出x的值，即可確定出A與B坐標(biāo)；
（3）由P與B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定出直線PB解析式，令x=0求出y的值，確定出OC的長，再由AB的長，求出三角形ABC面積即可．

解答 解：（1）把Q（-2，4）代入拋物線解析式得：4a+2+c=4①，
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得：x=-$\frac{-1}{2a}$=-1，即a=-$\frac{1}{2}$②，
把②代入①得：c=4，
則拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（2）對(duì)于拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
令y=0，得到-$\frac{1}{2}$x²-x+4=0，
整理得：x²+2x-8=0，即（x-2）（x+4）=0，
解得：x=2或x=-4，
則A（-4，0），B（2，0）；
（3）設(shè)直線PB解析式為y=kx+b，
把P（-1，$\frac{9}{2}$），B（2，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=\frac{9}{2}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線PB解析式為y=$\frac{3}{2}$x-3，
令x=0，得到y(tǒng)=-3，即C（0，-3），OC=3，
∵AB=2-（-4）=2+4=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OC=9．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．