Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為， 以為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點(diǎn)，與軸正半軸相交于點(diǎn)過(guò)作，點(diǎn)為弦上一點(diǎn)，連接．

（1）求的長(zhǎng)度；

（2）求證；直線(xiàn)是⊙的切線(xiàn)；

（3）若點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合)，過(guò)點(diǎn)的的切線(xiàn)交軸于，若為直角三角形，試求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)詳解；（3）所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-4，2），（4，2），（，4），（，4）．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理可以求得OB和OC的長(zhǎng)度，從而可以得到B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案；
（2）由，∠AOC=90°，則∠OAE=90°，由MA為半徑，則AE是切線(xiàn)；
（3）根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后利用分類(lèi)討論的方法可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）連接MB、MC，如圖一所示，

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），以M為圓心，以4為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C，
∴MB=MC=4，OM=2，
∵∠MOB=∠MOC=90°，
∴OB=，
∴OC=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），

∴；

（2）∵，∠AOC=90°，

∴，

∵圓M與軸正半軸相交于點(diǎn)，即MA為半徑，

∴AE是⊙M的切線(xiàn)；

（3）當(dāng)△BP1G是直角三角形時(shí)，如圖二所示，

∵MA=MP1=4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（-4，2）；
當(dāng)△BP2G是直角三角形時(shí)，如圖二所示，
∵MA=MP2=4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（4，2）；

當(dāng)△BP3G是直角三角形時(shí)，如圖三所示，

∵OB=，OM=2，
∴tan∠MBO=，
∴∠MBO=30°，
∴∠MBP3=60°，
∵BM=MP3，
∴△BMP3是等邊三角形，

∴BP3=4，
∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（，4）；
當(dāng)△BP4G是直角三角形時(shí)，如圖三所示，
∵BP4=8，∠P4BG=30°時(shí)，
∴點(diǎn)P4的縱坐標(biāo)是：8×sin30°=8×=4，

橫坐標(biāo)是：+8×cos30°=+8×=，
∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（，4）；
由上可得，若△BPG為直角三角形，所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-4，2），（4，2），（，4），（，4）．