Question

某學(xué)�；顒�(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：
●操作發(fā)現(xiàn)：
已知△ABC如圖1，分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，請(qǐng)你完成作圖并證明BE=CD．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）

●類比探究：
如圖2，分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE、BG，則線段CE、BG有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．
●靈活運(yùn)用：
如圖3，已知△ABC中，AB=2

2

，BC=3，∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)A作EA⊥AC，垂足為A，且滿足AC=AE，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖形，如圖所示，（分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，△ABD為等邊三角形，△ACE同理可得），由三角形ABD與三角形ACE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AE=AC，且∠BAD=∠CAE=60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACD與三角形AEB全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CD=BE；
（2）CE=BG，理由為：由四邊形ABDE與四邊形ACFG都為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到AD=AB，AE=AC，且∠BAD=∠CAE=90°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACE與三角形ABG全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CE=BG；
（3）以AB為邊向外作等腰直角三角形ABG，連接CG，在等腰三角形ABG中，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，進(jìn)而得到三角形BCG為直角三角形，利用勾股定理求出CG的長(zhǎng)，由三角形ACG與三角形ABE都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AG=AB，AE=AC，且∠BAG=∠CAE=90°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACG與三角形ABE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CG=BE，即可求出BE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）作圖，如圖所示：

∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠CAB，即∠DAC=∠EAB，
在△ACD和△AEB中，

AD=AB ∠DAC=∠EAB AC=AE

，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴BE=CD；
（2）CE=BG，理由為：
證明：∵四邊形ABDE與四邊形ACFG都為正方形，
∴AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠CAB，即∠EAC=∠BAG，
在△ACE和△ABG中，

AE=AB ∠EAC=∠BAG AC=AG

，
∴△ACE≌△ABG（SAS），
∴CE=BG；
（3）以AB為邊向外作等腰直角三角形ABG，連接CG，

證明：在等腰Rt△ABG中，AB=AC=2

2

，
根據(jù)勾股定理得：BG=

AB2+AG2

=

8+8

=4，
∵∠CBA=∠ABC=45°，
∴∠GBC=90°，
∴△CBG為直角三角形，
根據(jù)勾股定理得：CG=

BG2+BC2

=5，
∵△ABG和△ACE為等腰直角三角形，
∴AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，
∴∠BAG+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠GAC=∠BAE，
在△ABE和△ACG，

AG=AB ∠GAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ABE≌△ACG（SAS），
∴BE=CG=5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．