Question

18．如圖直線l₁，l₂交于C點，直線l₁與x軸交于A，直線l₂與x軸交于B（3，0），與y軸于D（0，3），已知直線l₁的函數(shù)解析式為y=2x+2．
（1）求直線l₂的解析式和交點C的坐標；
（2）將直線l₁向下平移a個單位使之經(jīng)過B，與y軸交于E，
①求△CBE的面積；
②若點Q為y軸上一動點，當△EBQ為等腰三角形，求出Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）設直線l₂的解析式為y=kx+b，結(jié)合點B、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線l₂的解析式；聯(lián)立直線l₁、l₂的解析式成方程組，解方程組即可求出交點C的坐標；
（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)找出直線l₁平移后的解析式為y=2x+2-a，根據(jù)點B在該直線上即可求出a值，從而得出平移后的直線的解析式，將x=0代入該解析式中即可求出點E的坐標，令CE與x軸的交點為點F，根據(jù)點C、E的坐標利用待定系數(shù)法即可求出CE所在直線的解析式，將y=0代入該解析式中即可求出點F的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△CBE的面積；
②設點Q的坐標為（0，m），結(jié)合點B、E的坐標即可得出EQ、BE、BQ的長度，分BE=BQ、EQ=EB和QE=QB三種情況考慮，由此即可得出關于m的方程，解方程即可求出m值，從而得出點Q的坐標．

解答 解：（1）設直線l₂的解析式為y=kx+b，
將點B（3，0）、D（0，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式位y=-x+3．
聯(lián)立直線l₁、l₂的解析式：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴交點C的坐標為（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）．
（2）①直線l₁向下平移a個單位后的解析式為y=2x+2-a，
∵點B（3，0）在直線y=2x+2-a上，
∴0=2×3+2-a，解得：a=8，
∴直線l₁平移后的解析式為y=2x-6．
令y=2x-6中x=0，則y=-6，
∴E（0，-6）．
令CE與x軸的交點為點F，如圖1所示．
設CE所在的直線解析式為y=kx-6，
將C（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）代入y=kx-6中，
得：$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$k-6，解得：k=26，
∴CE所在的直線解析式為y=26x-6．
令y=26x-6中y=0，則x=$\frac{3}{13}$，
∴F（$\frac{3}{13}$，0），
∴S_△CEB=$\frac{1}{2}$BF•y_C+$\frac{1}{2}$BF•|y_E|=$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{13}$）×[$\frac{8}{3}$-（-6）]=12．
②設點Q的坐標為（0，m），
∵E（0，-6），B（3，0），
∴EQ=|m-（-6）|=|m+6|，BE=$\sqrt{（0-3）^{2}+（-6-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，BQ=$\sqrt{（0-3）^{2}+（m-0）^{2}}$=$\sqrt{9+{m}^{2}}$．
△EBQ為等腰三角形分三種情況（如圖2所示）：
（i）當BE=BQ時，有3$\sqrt{5}$=$\sqrt{9+{m}^{2}}$，
解得：m₁=6，m₂=-6（舍去），
此時點Q的坐標為（0，6）；
（ii）當EQ=EB時，有|m+6|=3$\sqrt{5}$，
解得：m₃=3$\sqrt{5}$-6，m₄=-3$\sqrt{5}$-6，
此時點Q的坐標為（0，3$\sqrt{5}$-6）和（0，-3$\sqrt{5}$-6）；
（iii）當QE=QB時，有|m+6|=$\sqrt{9+{m}^{2}}$，
解得：m₅=-$\frac{27}{12}$，
此時點Q的坐標為（0，-$\frac{27}{12}$）．
綜上所述：當△EBQ為等腰三角形，點Q的坐標為（0，6）、（0，3$\sqrt{5}$-6）、（0，-3$\sqrt{5}$-6）或（0，-$\frac{27}{12}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解二元一次方程組、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出直線l₂的解析式；（2）①求出點E、F的坐標；②分三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關鍵．