Question

【題目】如圖①，A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE都是等邊三角形．

(1)連結(jié)BE，DC，求證：BE＝DC.

(2)如圖②，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′.

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為__ _度時(shí)，邊AD′落在AE上．

②在①的條件下，延長DD′交CE于點(diǎn)P，連結(jié)BD′，CD′.當(dāng)線段AB，AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)①60°②當(dāng)AC＝2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“邊角邊”證明△BAE和△DAC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）①求出∠DAE，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)；②當(dāng)AC=2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=BD=DD′=AD′，利用SSS證得△ABD′≌△DBD′，可得∠ABD′=∠DBD′=30°，同理∠AD′B＝∠DD′B＝30°，所以DP∥BC.再證得∠DBD'=∠PCD'，BD'=CD'，∠DD'B=∠PD'C，然后利用“角邊角”證明△BDD′≌△CPD′即可．

試題解析：

(1)∵△ABD和△ACE都是等邊三角形．

∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，

即∠BAE＝∠DAC.

在△BAE和△DAC中，

∵

∴△BAE≌△DAC(SAS)．∴BE＝DC.

(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°.

∵邊AD′落在AE上，

∴旋轉(zhuǎn)角＝∠DAE＝60°.

②當(dāng)AC＝2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等．

證明如下：

由旋轉(zhuǎn)可知，AB′與AD重合，

∴AB＝DB＝DD′＝AD′.

又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)．

∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°.

同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC.

∵△ACE是等邊三角形，

∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°.

∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′.

∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°.

∴∠ABD′＝∠ACD′.∴BD′＝CD′.

∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°.

∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°.

在△BDD′與△CPD′中，

∵

∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．