Question

19．如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的矩形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個大的矩形ABEF，現(xiàn)將小矩形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時，求旋轉(zhuǎn)角α的值；
（2）如圖2，G為BC的中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；
（3）小矩形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD′=CD=2，即可判定∠CD′E=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠α=30°；
（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，則GD′=E′D；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時它們?nèi)�等，�?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，可計(jì)算出α=135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，可計(jì)算得到α=315°．

解答 （1）解：∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；

（2）證明：∵G為BC中點(diǎn)，
∴CG=1，
∴CG=CE，
∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中
$\left\{\begin{array}{l}{CD′=CD}\\{∠GCD′=∠DCE′}\\{CG=CE′}\end{array}\right.$，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；

（3）解：能．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，
∵CD′=CD′，
∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，
當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時，△CBD′≌△DCD′，
當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，則旋轉(zhuǎn)角α=$\frac{360°-90°}{2}$=135°，
當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，∠BCD′=∠DCD′=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°
則α=360°-$\frac{90°}{2}$=315°，
即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時，△BCD′與△DCD′全等．

點(diǎn)評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．