Question

8．在△ABC中，AB=AC=4，∠A=α，P，Q分別是射線BA和AC延長線上的兩點(diǎn)，且BP=CQ，連接PQ，與直線BC相交于點(diǎn)D，
（1）如圖，當(dāng)α=60°時，如果點(diǎn)P在線段AB上，那么AP的長度為多少時，∠APQ是一個直角；
（2）當(dāng)α是一個定值時，過點(diǎn)P作PE⊥BC，交射線BC于點(diǎn)E，在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動過程中，判斷并說明DE的長度是否一個定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠Q=30°，由直角三角形的性質(zhì)得到AP=$\frac{1}{2}$AQ，設(shè)BP=x，則AP=4-x，AQ=4+x，列方程得到x=$\frac{8}{3}$，于是得到結(jié)論；
（2）作PF∥AQ，由平行線的性質(zhì)得到∠PFB=∠ACB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACB，等量代換得到∠B=∠PFB，根據(jù)等腰三角形的判定得到BE=EF，PF=BP推出△PFD≌△QCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=CD，推出DE=EF+FD=$\frac{1}{2}$BC，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵α=60°，PQ⊥AB，
∴∠Q=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AQ，
∵AB=AC=4，
設(shè)BP=x，則AP=4-x，AQ=4+x，4-x=$\frac{1}{2}$（4+x），
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴AP=$\frac{8}{3}$時，∠APQ=90°；

（2）作PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，
∵△ABC為等腰三角形，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BE=EF，PF=BP，
∵PB=CQ，
∴CQ=PF，
∵PF∥AQ，
∴∠1=∠Q，
在△PFD與△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠Q}\\{∠2=∠3}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD，
∴DF=CD，
∴DE=EF+FD=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF為定值．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．