Question

13．已知拋物線y=-x²+mx+n經(jīng)過點A（1，0），B（6，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)y＜0，直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）拋物線與y軸交于點D，P是x軸上一點，且△PAD是以AD為腰的等腰三角形，試求P點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點和B點坐標(biāo)代入y=-x²+mx+n得到關(guān)于m、n的方程組，然后解方程組即可；
（2）先求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，然后寫出拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可；
（3）設(shè)P（t，0），先確定D（0，-6），利用勾股定理計算出AD=$\sqrt{37}$，再分類討論：當(dāng)DP=DA時，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得點P與點A關(guān)于x軸對稱，易得P點坐標(biāo)為（-1，0）；當(dāng)AP=AD時，即AP=$\sqrt{37}$，再求粗OP的長，然后寫出此時P點坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{-1+m+n=0}\\{-36+6m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=-6}\end{array}\right.$．
所以拋物線解析式為y=-x²+7x-6；
（2）當(dāng)y=0時，-x²+7x-6=0，解得x₁=1，x₂=6，
所以當(dāng)x＜1或x＞6時，y＞0；
（3）設(shè)P（t，0）
當(dāng)x=0時，y=-x²+7x-6=-6，則D（0，-6），
所以AD=$\sqrt{{1}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
當(dāng)DP=DA時，點P與點A關(guān)于x軸對稱，此時P點坐標(biāo)為（-1，0）；
當(dāng)AP=AD時，即AP=$\sqrt{37}$，則此時P點坐標(biāo)為（$\sqrt{37}$+1，0）或（-$\sqrt{37}$+1，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．