【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,拋物線yax22ax3a分別交x軸于A、B兩點(點A在點B的側(cè)),與y軸交于點C,連接AC,tanACO

1)如圖l,求a的值;

2)如圖2D是第一象限拋物線上的點,過點Dy軸的平行線交CB的延長線于點E,連接AEBD于點FAEBD,求點D的坐標(biāo);

3)如圖3,在(2)的條件下,連接AD,P是第一象限拋物線上的點(點P與點D不重合),過點PAD的垂線,垂足為Q,交x軸于點N,點Mx軸上(點M在點N的左側(cè)),點GNP的延長線上,MPOG,∠MPN﹣∠MOG45°,MN10.點SAQN內(nèi)一點,連接AS、QS、NS,ASAQ,QSSN,求QS的長.

【答案】(1) a=1; (2) D45;(3)

【解析】

1)由ax2-2ax-3a=0,可得到A-1,0),B30),OA=1,再根據(jù)條件tanACO=可求得C0,-3),即可求出a的值;
2)構(gòu)造全等三角形RtARERtDRB,∴AR=DR,建立方程求解;
3)過點G、P分別作x軸的垂線,垂足分別為K、H,構(gòu)造全等三角形△MHP≌△GKO,利用特殊角45°構(gòu)造等腰直角三角形,從而證得MK=HN=PH=KO,設(shè)點Pm,m2-2m-3),根據(jù)題目條件建立方程10=m2-2m-3+m2-2m-3+m+m2-2m-3,可求得P);過點AATQS,垂足為T,過點NNZQS,垂足為Z,構(gòu)造全等三角形△ATQ≌△QZN,運用勾股定理可求出QS

解:(1)如圖1

y0,則ax22ax3a0

解得:x1=﹣1,x23,

A(﹣1,0),B3,0),OA1,

∵tan∠ACO,OC3,即C0,﹣3),

x0,y=﹣3a=﹣3,a1

2)如圖2,延長DEx軸于R,

OCOB3

∴∠OCBOBC45°,

DRy軸,

∴∠DEROCB45°,

∴∠RBEREB45°

RBRE,

AEBD,

∴Rt△ARE≌Rt△DRB

ARDR,

設(shè)Dt,t22t3),ARt+1,DRt22t3,

t+1t22t3

解得:t14,t2=﹣1(舍去),

D4,5).

3)如圖3,過點G、P分別作x軸的垂線,垂足分別為K、H,

ARDR5,

∴∠RAD45°,

NGAD

∴∠AQNspan>90°,

∴∠QANQNA45°,

∵∠GKN90°,

∴∠KGNKNG45°

GKKN,

∵∠PHN90°,

∴∠HPNHNP45°

HPHN,

∵∠MPNMOG45°

∴∠MPHMOG,

∴∠MPH+∠HPNMOG45°

MPOG,MHPGKO90°

∴△MHP≌△GKO,

MHGKPHKO,

KNGK,

MHKN,

MKHNPHKO,

設(shè)點Pm,m22m3),

MNMK+KO+OH+HN,

∴10m22m3+m22m3+m+m22m3,

整理得:12m220m770,

解得:m1,m2-(舍去),

P,),

ONOH+HN,ANAO+ON

在等腰直角三角形AQN中,由勾股定理可得QAQN

過點AATQS,垂足為T,過點NNZQS,垂足為Z,

∵∠QAT+∠AQT90°NQZ+∠AQT90°,

∴∠QATNQZ

∵∠ATQQZN90°,AQNQ,

∴△ATQ≌△QZNAAS),

QTZN,ATQZ,

AQAS,ATQS,

QTST,

QTZNSTQS,

QSSN

∴2NZSN,sin∠ZSN,

∴∠ZSNZNS45°,

ZNZS,

ZNZSTSTQAT

Rt△ATQ中,由勾股定理可得QT

QS2QT

練習(xí)冊系列答案
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(1)直接寫出當(dāng)時,的函數(shù)關(guān)系式;

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1)求橋長AB;

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