Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，過點A作AD∥BC，交BO的延長線于點D，且AD是⊙O的切線，連接AO并延長AO與BC交于E點．
（1）試說明：AB=AC；
（2）連接CD，若CD是⊙O的切線，⊙O的半徑為6，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由平行和切線的性質(zhì)可知AE⊥BC，由垂徑定理可求得

AB

=

AC

，可得出結(jié)論；
（2）由條件結(jié)合切線長定理可證得BC=CD，可證得四邊形ABCD為菱形，可得∠ADB=∠OBE=30°，在Rt△OBE中可求得OE和BE，則可求出AE和BC，利用平行四邊形的面積可求得四邊形ABCD的面積．

解答：（1）證明：∵AD是⊙O的切線，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴∠BEA=∠OAD=90°，
又∵AE過圓心，
∴

AB

=

AC

，
∴AB=AC；
（2）解：∵DA，DC為⊙O的切線，
∴∠ADB=∠CBD，DA=CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠CDB=∠CBD，
∴CD=BC，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AC=AD=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠OBE=30°，
∴OE=

1

2

OB=3，BE=

3

2

OB=3

3

，
∴AE=9，BC=6

3

，
∴S_{四邊形ABCD}=BC•AE=9×6

3

=54

3

．

點評：本題主要考查切線的性質(zhì)及菱形的判定和性質(zhì)，在（1）中掌握連接圓心和切點的半徑垂直切線是解題的關(guān)鍵，在（2）中判定出四邊形ABCD為菱形是解題的關(guān)鍵．