Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，且AC=3cm，BD=4cm
（1）求該梯形的中位線的長(zhǎng)；
（2）求該梯形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形中位線定理,勾股定理

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD交CB的延長(zhǎng)線于E，判斷出四邊形ADBE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得BE=AD，AE=BD，再求出AC⊥AE，然后利用勾股定理列式求出CE，再根據(jù)梯形的中位線等于兩底邊和的一半列式計(jì)算即可得解；
（2）設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為h，利用△ACE的面積列出方程求出h，再根據(jù)梯形的面積等于中位線乘高列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD交CB的延長(zhǎng)線于E，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADBE是平行四邊形，
∴BE=AD，AE=BD=4cm，
∵AC⊥BD，BD∥AE，
∴AC⊥AE，
∴CE=

AC2+AE2

=

32+42

=5cm，
∴梯形的中位線=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（BE+BC）=

1

2

CE=

5

2

cm，
即該梯形的中位線為

5

2

cm；

（2）設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為h，
則S_△ACE=

1

2

×5h=

1

2

×3×4，
解得h=

12

5

，
所以該梯形的面積=

5

2

×

12

5

=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的中位線等于兩底邊和的一半，勾股定理，三角形的面積，梯形的問(wèn)題，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．